06 第44讲　空间向量及其运算和空间位置关系 【答案】听课.docxVIP

第44讲空间向量及其运算和空间位置关系

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.互相平行或重合非零向量a平行同一个平面a=λb

xa+yb+zc1

2.(1)|a||b|cosθ(2)a·b=0(3)a2

3.(1)|a|cosa,bb|b|投影向量

4.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3

a1b1+a2b2+a3b3=0

(

【对点演练】

1.1[解析]∵λa+μb(λ,μ∈R)与a,b共面,∴①②④不正确.

2.-12a+12b+c[解析]BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a

3.10[解析]∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=-6-4+m=0,解得m=10.

4.④[解析]若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①为假命题;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②为假命题;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③为假命题;根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④.

5.17或-1[解析]∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,∴cos120°=a·b|a|·|b|=-2-λ

●课堂考点探究

例1[思路点拨]根据空间向量的线性运算,利用三角形法则和平行四边形法则表示即可.

ABC[解析]对于A,AP=12(AC+AA1)=12(AB+AD+AA1)=12(a+b+c),故A正确;对于B,AM=12(AC+AD1)=12(AB+AD+AD+AA1)=12(a+2b+c),故B正确;对于C,AN=12(AC1+AD1)=12(AC+AA1+AA1+AD)=12(AB+AD+AA1+AA1+AD)=12(a+2b+2c)=12a+b+c,故C正确;对于D,AQ=AA1+15A1C=AA1+1

变式题D[解析]连接ON,如图,则ON=12OB+12OC,所以MN=MO+ON=-23OA+12(OB+OC)=-23a+12

例2[思路点拨](1)利用共面向量定理即可得出结论.(2)利用共线向量的性质即可得出结论.

(1)D(2)25[解析](1)由题可知O,A,B,C四点不共面,所以由MA,MB,MC共面,得14+16+λ=1,解得λ=712

(2)∵AB=2e1-e2,BC=3e1+3e2,∴AC=AB+BC=5e1+2e2,又∵A,C,D三点共线,∴AC∥CD,∵e1,e2不共线,CD=e1+ke2,∴AC=5CD,∴2-5k=0,∴k=25

变式题解:因为AM=kAC1,BN=k

所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(AA

所以向量MN与向量AB,AA1

例3[思路点拨](1)根据AC=AB+BC,BD=BC+CD,结合空间向量数量积的运算法则进行计算即可得到结果.(2)将AM用AB,AC表示,CN用AD,AC表示,再利用向量法求解即可.

(1)B(2)A[解析](1)因为AC=AB+BC,BD=BC+CD,所以AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=AB·BC+AB·CD+BC2+BC·CD=16+AB·BC+AB·CD+BC·CD.又AB+BC+CD=AD,所以(AB+BC+CD)2=AD2,即AB2+BC2+CD2+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=AD2,即32+42+52+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=62,所以AB·BC+AB·CD+BC·CD=-7,所以AC·BD

(2)在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=π3.因为M,N分别为BC,AD的中点,所以AM=12(AB+AC),CN=AN-AC=12AD-AC,且AM=CN=32,则AM·CN=12(AB+AC)·12AD-AC=1212AB·AD-AB·AC+12AC·AD-AC2=

变式题解:(1)证明:设CD=a,CB=b,CC1=

由已知条件,得|a|=|b|=2,|c|=3,a·b=0,a,c=60°,b,c=60°.因为BD=CD-CB=a-b,CA1=CD+CB+CC1=a+

所以BD·CA1=(a-b)·(a+b+c)=a2+a·b+a·c-b·a-b2-b

=|a|2+0+|a|·|c|cos60°-0-|b|2-|b|·|c|cos60°=22+2×3×12-22-2×3×12

所以BD⊥CA1,即BD⊥CA

(2)由(1)得CA1=a+b+c,则|CA1|2