03 第41讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 【正文】听课.docxVIP

第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

2.了解4个基本事实和1个定理.

1.基本事实

基本事实1:过的三个点,有且只有一个平面.?

基本事实2:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.?

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线.?

2.三个推论

推论1:经过一条直线和一点,有且只有一个平面.?

推论2:经过两条直线,有且只有一个平面.?

推论3:经过两条直线,有且只有一个平面.?

3.空间直线的位置关系

(1)位置关系的分类

共面直线

(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角.?

4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言

符号语言

公共点

直线与

平面

相交

a∩α=A

个?

平行

a∥α

个?

在平面内

a?α

个?

平面与

平面

平行

α∥β

个?

相交

α∩β=l

个?

题组一常识题

1.[教材改编]已知下列四个说法:

①三点确定一个平面;②两个平面可以只有一个公共点;③三条平行直线一定共面;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.

其中正确的说法的序号是.?

2.[教材改编]如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是.?

题组二常错题

◆索引:对异面直线的概念理解不清致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.

3.α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是.(填序号)?

①垂直;②相交;③异面;④平行.

4.在空间中,如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是.?

5.已知a和l是异面直线,b和l也是异面直线,则直线a和b的位置关系是.?

平面的基本事实与推论的应用

例1如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:

(1)E,C,D1,F四点共面;

(2)CE,D1F,DA三线共点.

?

?

总结反思

证明共面、共线、共点问题的一般方法:

(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后证明其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合.

(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.

变式题如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

(1)D,B,F,E四点共面;

(2)若A1C交平面DBE于点R,则P,Q,R三点共线.

?

?

空间位置关系的判断

例2(1)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ()

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是 ()

A.相交但不垂直

B.相交且垂直

C.异面

D.平行

总结反思

(1)要判断空间中两条直线的位置关系(平行、相交、异面),可利用定义,借助空间想象并充分利用图形进行思考.

(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法.

(3)异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.

变式题(1)学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示的正方体的表面展开图,则在正方体中,AB,CD,EF,GH所在的直线中,是异面直线的是 ()

A.AB与EF B.AB与CD

C.GH与CD D.EF与CD

(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1