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高中数学概率与统计知识点总结

概率与统计

一、概率及随机变量的分布列、期望与方差

1.概率及其计算

概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。

计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。

如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。如果事件

A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概

率等于这n个事件分别发生的概率的和，即

P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。如果事件B与事

件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。

2.随机变量的分布列、期望与方差

随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的

变量。常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何

分布。二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次

的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机

变量X，其分布列为X~B(n,p)。超几何分布指在含有M件次

品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为

C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且

n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随

机变量X服从超几何分布。

2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率

条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生

的概率。一般地，设A,B为两个事件，且P(A)0，则

P(B|A)=P(AB)/P(A)。在古典概型中，若用n(A)表示事件A中

基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。相互独立事件是指

两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影

响其他事件的发生。如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。

如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互

独立。

3.独立重复试验与二项分布

独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验

的结果只有两种可能，即成功或失败。在n次独立重复试验中，

事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生

的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。

1.对于离散型随机变量X，若其概率分布列为

Xx1x2…xin…xn，概率分别为p1p2…pin…pn，则X的数学期

望或均值EX=x1p1+x2p2+…+xip+…+xnpn。

2.若Y=aX+b，则EY=aEX+b，D(aX+b)=a^2DX。

3.若X服从二项分布B(n,p)，则EX=np，D(X)=np(1-p)。

4.正态分布的性质包括曲线位于x轴上方且与x轴不相交，

是单峰的且关于直线x=μ对称，在x=μ处达到峰值1，与x轴

之间的面积为1，当σ一定时，曲线的位置由μ确定，随着μ

的变化而沿x轴平移；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线

越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

5.正态分布的三个特殊区间内取值的概率分别为P(μ-

σXμ+σ)=0.6826，P(μ-2σXμ+2σ)=0.9544，P(μ-

3σXμ+3σ)=0.9974.

6.简单随机抽样是指从总体中逐个不放回地抽取n个个体

作为样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相

等。最常用的简单随机抽样的方法是抽签法和随机数表法。

7.系统抽样的步骤包括将总体的N个个体编号，确定分段

间隔k，对编号进行分段，按照一定的规则抽取样本。

8.分层抽样是将总体分为若干层，对每层进行简单随机抽

样或其他抽样方法，然后从每层中抽取一部分个体作为样本。

在抽样时，可以将总体分成互不交叉的层，然后按照一定

的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体

合在一起作为样本。这种抽样方法被称为分层抽样，适用于总

体由差异明显的几个部分组成的情况。需要注意的是，无论采

用哪种抽样方法，总体中的每个个体入样的概率都是相同的。

在绘制频率分布直方图时，需要进行以下步骤：首先求出

一组数据中最大值与