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【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识点
一、选择题
1．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
2．若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）
A．252 B．70 C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即，故选B.
3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】
由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，，选C.
考点：茎叶图
5．在区间内随机取两个数?，则关于的方程有实数根的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.
【详解】
若方程有实数根，则.
如图，表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求的概率，
即.
故选：.
【点睛】
本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.
6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形的，和．若，，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
【详解】
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为，
Ⅱ所对应的面积，
整个图形所对应的面积，
所以，此点取自Ⅱ的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
7．在矩形ABCD中，，在CD上任取一点P，使的最大边是AB的概率为，则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使是直角三角形的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设，由几何概型概率公式结合勾股定理可得，再由几何概型概率公式即可得解.
【详解】
如图，矩形是对称的，设P在线段MN上时，的最大边为AB，
则此时，
设，则，
所以，，，
由勾股定理知，
当Q在AD或BC上时，为直角三角形，
故所求概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.
8．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为．则透镜落地次以内（含次）被打破的概率是（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地次，恰在第一次落地打破的概率为，
恰在第二次落地打破的概率为，
恰在第三次落地打破的概率为，
∴落地次以内被打破的概率．故
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