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2023—2024学年天津市南开中学高一下学期第一次学情调查数学试卷
一、单选题
(★)1.化简等于()
A.
B.
C.
D.
(★)2.已知向量,,,若,则()
A.
B.
C.3
D.0
(★★)3.已知复数z满足,则复数z的虚部为
A.
B.
C.
D.
(★★)4.在中,,则在方向上的投影向量是()
A.
B.
C.
D.
(★★)5.已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图为扇形,扇形圆心角为,则圆锥的表面积为()
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
(★★)6.若、、为三条不同的直线,、为两个不重合的平面,则下列命题正确的是()
A.如果,,则
B.如果,,,,则
C.如果,,则
D.如果,,,则
(★★★)7.如图,测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与,测得,并在点测得塔顶的仰角为,则塔高等于()
A.
B.
C.
D.
(★★★)8.如图,在长方体中,已知为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
(★★★★)9.在中,点满足,过点的直线与、所在的直线分别交于点、,若,,则的最小值为
A.
B.
C.
D.
(★★★★)10.在梯形中,,动点和分别在线段和上,且,则的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
(★★)11.设是虚数单位,,则____________.
(★★)12.在中,角的对边分别为,则____________.
(★★★)13.在中,角的对边分别为,且的面积为,,则____________.
(★★)14.为庆祝我校建校120周年,数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章,如图所示,,则____________.
(★★★)15.如图中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心在边上,半圆与分别相切于点,交于点),则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为____________.
(★★★)16.在锐角中,角的对边分别为,若,且满足,则的取值范围为____________.
三、解答题
(★★★)17.在中,角的对边分别为,若,其中,
(1)求角的大小;
(2)若的面积为.
①求的值;
②求的值.
(★★)18.在四棱锥中,底面为平行四边形,为底面中心,分别为的中点,为等腰直角三角形,且.
(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)若分为的中点,点在线段上,且.求证:平面平面.
(注:只能使用几何法,其他方法一律不给分)
(★★★★)19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为,
(1)若,
①求;
②若,设点为的费马点,求;
(2)若,设点为的费马点,,求实数的最小值.
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