03 第41讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 【答案】听课.docxVIP

第41讲空间点、直线、平面之间的位置关系

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.不在一条直线上两个点平行

2.这条直线外相交平行

3.(1)相交平行任何(2)相等或互补

4.10无数0无数

【对点演练】

1.④[解析]对于①,共线的三点不能确定一个平面,故①错误;对于②,若两个平面有一个公共点,则这两个平面有一条经过该点的公共直线,该交线上有无数个公共点,故②错误;对于③,三条平行直线可能共面,也可能有一条直线在另外两条平行直线确定的平面外,故③错误;对于④,当三条直线两两相交且三个交点不重合时,三条直线共面,当三条直线两两相交于一个点时,这三条直线可能在同一个平面内,也可能不共面,此时其中任意两条直线都可以确定一个平面,共可确定3个平面,故④正确.故填④.

2.直线CD[解析]由题意知,D∈l,l?β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.

3.④[解析]依题意,m∩α=A,n?α,∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),m与n一定不平行.故填④.

4.异面或平行[解析]如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是异面或平行.

5.平行或相交或异面[解析]如图所示,当a=AA1,l=BC,b=D1C1时,直线a,b异面;当a=AA1,l=BC,b=DD1时,直线a,b平行;当a=AA1,l=BC,b=A1B1时,直线a,b相交.故a与b的位置关系是平行或相交或异面.

●课堂考点探究

例1[思路点拨](1)连接EF,CD1,A1B,可证得EF∥A1B∥CD1,从而得到E,C,D1,F四点共面;(2)设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.

证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.由平行六面体的性质得A1B∥D1C,∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1,

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

∴E,C,D1,F四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EFCD1,

∴CE与D1F必相交,延长CE,D1F,设交点为P,如图所示.由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理可得P∈平面ADD1A1.延长DA,∵平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.

变式题证明:(1)连接B1D1,易知EF是△D1B1C1的中位线,

∴EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD,∴EF,BD可以确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面A1ACC1为α,平面DBE为β.∵Q∈A1C1,∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β,则Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,连接PQ,∴α∩β=PQ.又A1C∩β=R,∴R∈A1C,∴R∈α,又R∈β,

∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.

例2[思路点拨](1)由中位线可得四边形MNBE为梯形,进而得到BM,EN相交,在直角三角形中,利用勾股定理计算可得BM≠EN.(2)作辅助线,由三角形中的比例关系可得MEED1=MFBF,进而可得EF

(1)B(2)D[解析](1)连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.如图所示,在△EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,所以MN∥BE,MN=12BE,则四边形MNBE是梯形,BM,EN是梯形的两条对角线,所以直线BM,EN相交.设正方形ABCD的边长为a,由题意可得△BCM为直角三角形,则BM=BC2+CM2=72a.记CD的中点为H,连接EH,HN,则△EHN为直角三角形,则EN=EH2+NH2=a,故BM≠

(2)连接D1E并延长,与AD交于点M,因为A1E=2ED,所以M为AD的中点.连接BF并延长,交AD于点N,因为CF=2FA,所以N为AD的中点,所以M,N重合.因为MEED1=12,MFBF=AFFC=12,所以MEED1=MF

变式题(1)B(2)C[解析](1)作出正方体如图所示,由图可知,AB与EF相交,AB与CD异面,GH与CD相交,EF与CD平行.故选B.

(2)如图,连接A1C1,BC1,因为M,N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心,所以M,N分别是A1C1,BC1的中点,所以直线MN与直线A1B平行,所以A错误;连接BD,B1D1,因为直线MN不在平面BB1D1D内,且直线MN经过平面BB1D1D内一点M,点M不在直线DD1上,所以直线MN与直线DD1是异面直线,所以B错误;因为直线MN不在平面ABC1内,且直线MN经过平面AB