福建省泉州市惠安县2024_2025学年高一数学“达利杯”学科素养竞赛试题.docVIP

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福建省泉州市惠安县2024-2025学年高一数学“达利杯”学科素养竞赛试题

考生留意事项：

1本卷共有18道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.

2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.

3本卷全部试题都必需用蓝色或黑色签字笔在答题卡上书写,在试题卷上作答无效.

4本卷解答一律不准运用计算器.

选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）

1．设常数，集合，若，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

2.在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为10分）：①每人可发球5次，每胜利一次记1分；②若连续两次发球胜利加分，连续三次发球胜利加1分，连续四次发球胜利加分，以此类推，连续五次发球胜利加2分．假设某同学每次发球胜利的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是（）

A. B. C. D.

3.已知函数，且互不相等的实数满意，则的取值范围是（）

A.B.C. D.

4．已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点，且，，，则的最大值为（）

A. B. C. D.

5．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）

A． B． C． D．

科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少须要通过构造的次数是（）

（参考数据：）

A.16 B.17 C.24 D.25

7．已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

8．已知.给出下列推断：

①若，且，则；

②存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称；

③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；

④若在上单调递增，则的取值范围为；

其中，推断正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）

9．求“方程的解”有如下解题思路：设，则在R上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集为?▲．

10．已知正数满意，则的最小值为▲．

11.设O是所在平面上一点，点H是的垂心，满意，且，则角A的大小是?▲．

12．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，分别为棱的中点，并且，则三棱锥的外接球的体积为?▲．

解答题（本大题共6小题，第13、14题各8分,其余每题9分,共52分.要求写出必要的解答过程）

13．设且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且

={1，2，3，…，}.证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数．

14.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局竞赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.

（1）求第4局甲当裁判的概率；

（2）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.

15.设函数，

（1）求函数在上的最大值与最小值；

（2）若实数使得对随意恒成立，求的值．

16．如图，在中，，点在线段上，过点做//交于点，将的位置（），使得.

（1）若，试确定点在上的位置；

（2）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

A

Aaaaaa

B

C

E

F

P

B

E

F

C

17．设函数和是定义在集合上的函数，若对随意都有成立，则称函数和在集合上具有性质.

(1)若函数和在集合上具有性质，求集合；

(2)若函数和在集合上具有性质，求的取值范围．

18.已知函数.

(1)且,求在区间上的最大值；

(2)若且是的零点，求全部可能的值.

2024年学科素养竞赛

高一数学参考答案

选择题：BCDABDAB

填空题：9.10.11.12.

解答题：

13.解：(1)记A2表示事务“第2局结果为甲胜”，