08 第46讲　空间距离及立体几何中的探索性问题 【正文】听课.docxVIP

第46讲空间距离及立体几何中的探索性问题

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.

1.点到直线的距离

如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=

=.?

2.点到平面的距离

如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=AP·n|n|

题组一常识题

1.[教材改编]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=A1A=4,M为BC1的中点,N为A1B1的中点,则MN=.?

2.[教材改编]已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点C到平面GEF的距离为.?

3.[教材改编]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为.?

题组二常错题

◆索引:点到直线的距离公式记错;点到平面的距离公式忽略绝对值出错.

4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形A1ABB1的中心,E为棱BC的中点,则点O到直线A1E的距离为.?

5.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,点P(-2,1,4)到平面α的距离为103,则x=

点到直线、直线与直线间的距离

例1(1)[2023·温州三模]四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA

=90°,OA=1,OB=2,OC=3,点D在棱OC上,且OC=3OD,点G为△ABC的重心,则点G到直线AD的距离为()

A.22 B.12 C.33

(2)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与BC1之间的距离是 ()

A.22 B.33 C.12

总结反思

(1)求点到直线的距离常用以下两种方法:

①几何法:求点A到直线l的距离,就是求从点A向直线l所作的垂线段的长度,往往在直角三角形中利用勾股定理求解.

②向量法:点A到直线l的距离d=|PA|2-|PA·n|2(其中A为直线l外一点,P为直线

(2)直线与直线间的距离有以下两种情况:

①两平行直线间的距离,此时其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等,所以直线与直线的距离转化为点到直线的距离.

②两异面直线间的距离,有两种方法:

几何法:求公垂线段的长度.

向量法:在两直线上各取一点构成一个向量AB,u为在两直线的公垂线方向上的单位向量,则两异面直线间的距离为|AB·u|.

变式题如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则面对角线AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为.?

点到平面的距离

例2(1)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CA=2CC1=2BC=2,则直线BC到平面AB1C1的距离为 ()

A.3

B.3

C.6

D.6

(2)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么点P到平面ABC的距离为.?

总结反思

点到平面的距离的求法:

(1)几何法:①作出点到平面的垂线段,在直角三角形中,求这条垂线段的长度.

②把待求的点到平面的距离看作三棱锥的高,利用三棱锥的等体积转换法求解.

(2)向量法:点A到平面α的距离d=|BA·n||n|(其中B是平面α内一点

变式题1如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为 ()

A.1 B.2

C.43 D.

变式题2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=AC=CC1=4,D为AB1的中点,CB1交BC1于点E.

(1)证明:CB1⊥C1D;

(2)求点E到平面B1C1D的距离.

?

?

立体几何中的探索性问题

例3如图①是直角梯形ABCD,AB∥CD,∠D=90°,四边形ABCE是边长为2的菱形,并且∠BCE=60°,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C1的位置,得到四棱锥C1-ABED,如图②,且AC1=6.

(1)求证:平面BC1E⊥平面ABED.

(2)在棱DC1上是否存在点P,使