05 第43讲　直线、平面垂直的判定与性质 【答案】听课.docxVIP

第43讲直线、平面垂直的判定与性质

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.(1)任意一条直线垂线垂面(2)两条相交直线

一条直线另一条直线任意一条直线平面

2.(1)直二面角

(2)直二面角∠AOB=90°垂线二面角的平面角∠AOB=90°交线垂直

【对点演练】

1.43[解析]由PD⊥平面ABCD,得平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD.因为AC⊥BD,AC⊥PD,BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,所以平面PAC⊥平面PDB,故互相垂直的平面有4对.与AC垂直的直线有PD,BD,PB,共3条.

2.②④[解析]在①中,如图甲,a?α,b?β,且a,b与l都不垂直,则a,b不一定垂直,故①错误;在②中,如图乙,a?α,b?β,b⊥l,则b⊥α,所以β内所有与b平行的直线都与a垂直,故②正确;在③中,如图丙,a?α,但a与l不垂直,则a与β不垂直,故③错误;在④中,如图丁,由两平面垂直的性质定理可知④正确.故填②④.

3.(1)外(2)垂[解析](1)如图①,连接OA,OB,OC,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.

(2)如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC?平面POC,所以AB⊥平面POC,又CG?平面POC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC的边AB上的高.同理可得BD,AH分别为△ABC的边AC,BC上的高,所以O为△ABC的垂心.

4.必要不充分[解析]根据直线与平面垂直的定义,知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”,反之则可以,所以应填必要不充分.

5.②③[解析]在①中,若α∥β,n?α,m?β,则m与n平行或异面,故①错误;在②中,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又n⊥α,所以n⊥β,故②正确;在③中,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n?α,又n⊥β,所以α⊥β,故③正确;在④中,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m与n平行、相交或异面,故④错误;在⑤中,若α⊥β,m?α,n?β,则m,n平行、相交或异面,所以⑤错误.故填②③.

6.5[解析]由底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=2a,得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥底面ABCD,由PA?平面PAB,PA?平面PAD,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.由BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,得BC⊥平面PAB,又BC?平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.由CD∥AB,得CD⊥平面PAD,又CD?平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.故共有5对互相垂直的面.

7.一定[解析]因为PA=PB=PC,所以点P在平面ABC内的射影O为△ABC的外心,因为

∠BAC=90°,所以O为BC的中点,所以PO在平面PBC内,所以平面PBC⊥平面ABC.

●课堂考点探究

例1[思路点拨](1)由线面、面面平行的判定定理及线面、面面垂直的性质定理、判定定理逐一判断各选项.(2)利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断.

(1)D(2)B[解析](1)对于A,由面面平行的判定定理可知,在平面α内需要两条相交直线与平面β平行才能得出两平面平行,故A错误;对于B,由l?β,m∥l得m∥β或m?β,故B错误;对于C,由面面垂直的性质定理可知,当平面α内的直线m与α,β两个平面的交线垂直时,才能得出m⊥β,故C错误;对于D,由面面垂直的判定定理可知D正确.故选D.

(2)∵PA⊥平面ABC,PA?平面PAC,∴平面ABC⊥平面PAC,故D中说法正确.∵BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又BC?平面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC,故C中说法正确.∵AN?平面PAB,∴BC⊥AN,∵AN⊥PB,BC∩PB=B,∴AN⊥平面PBC,又AN?平面ANS,∴平面ANS⊥平面PBC,故A中说法正确.对于B,假设平面ANS⊥平面PAB,∵AN⊥平面PBC,NS?平面PBC,∴AN⊥NS,∵平面PAB⊥平面ANS,平面PAB∩平面ANS=AN,∴NS⊥平面PAB,∴NS⊥PB,∴PB⊥平面ANS,又AS?平面ANS,∴PB⊥AS,∵AS⊥PC,PB∩PC=P,∴AS⊥平面P