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微分几何试题及答案--第1页

【篇一：微分几何试题】

有曲线，则当t?0时的切线方程为

x?1?y?z?1。2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为

i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从

2

2

2

et?e?t

（这里sinht?）v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

2

3．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基

本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b

a?4b

。5

4．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面

在该点的切向量

ru,rv相互平行，则f在该点等于5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的

第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为

(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?r

v|7．曲线x?tsin

?(0,

t

，主法向量为22

1．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切

线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）

解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以

切线：

?x?1?0x?1y?0z?0

??，即?011?y?z?0

法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0

x?1y

密切平面：

z

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?y?z?0

0?110

t?,r}?,t?()r(t)?{cots,stin{tsint,

r??(t)?{?cost,?sint,0},r???(t)?{sint,?cost,0}。

|r?|k?

?1}r,??r???{sitn?,ctos,r?,r|2

??)1|r??r??|1(r?,r??,?r????32

(r??r??)2|r?|2

2．计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲

率、平均曲率、脐点。（35分）

解：r?{x,y,x2?y2}，rx?{1,0,2x},ry?{0,1

,2y}，

rxx?{0,0,2},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2}n?

2

2

2

rx?ry|rx?ry|

2

?

所以有e?rx?1?4x,

f?rxry?4xy,g?ry?1?

4y

l?rxxn?

，m?rxyn?0，n?

ryyn?

i?(1?4x2

)dx2?8xydxdy?(1?4y2)dy2

ii?

22

ln?m24lg?2mf?ne2?4x2?4y2

，h?k???

eg?f2(1?4x2?4y2)22(eg?f2)(1?4x2?4y2)3/2

在脐