2024—2025学年北京市海淀区精华学校高三上学期入学测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市海淀区精华学校高三上学期入学测试数学试卷

一、单选题

(★★)1.若集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.在的展开式中，的系数为（）

A．2

B．8

C．16

D．24

(★★)4.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★★)6.函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）

A．11

B．12

C．13

D．14

(★★★)8.如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（）

A．

B．3

C．

D．4

(★★★★)9.已知函数，下列结论错误的是（）

A．的图像有对称轴

B．当时，

C．有最小值

D．方程在上无解

(★★★)10.设函数，则点集所构成图形的面积是（）

A．

B．

C．

D．前三个答案都不对

二、填空题

(★)11.一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是________．

(★★)12.抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________．

(★)13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________.

(★)14.若函数的一个零点是，则函数的最大值为______

(★★★★)15.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有__________________.

①公差可以为；

②公差可以不为；

③符合题意的公差有有限个；

④符合题意的公差有无限多个．

三、解答题

(★★★)16.在中，角所对边分别为．已知．

(1)求；

(2)请从条件①②③中选出一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线长．

①；②周长为；③面积为．

(★★★)17.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．

(1)证明：；

(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；

(3)求直线与平面所成角的正弦值．

(★★★)18.某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：

下车站上车站

合计

5

6

4

2

7

24

12

20

13

7

8

60

5

7

3

8

1

24

13

9

9

1

6

38

4

10

16

2

3

35

2

5

5

4

3

19

合计

36

36

56

26

21

25

200

(1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率；

(2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；

(3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．

(★★★)19.已知椭圆的离心率为．

(1)求椭圆E的方程和短轴长；

(2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．

(★★★★)20.已知函数

（1）若，，若的单调区间；

（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求.