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数据下ARMA(1,1)模型的估计方法

内容提要近几十年以来，国际上在对“风险的处理和效益的优化”这两个现代金融学的

议题的分析和处理过程中，金融时间序列的计量学模型及其相应的分析越来越起到非常重要的作用。

对于线性时间序列模型如AR(p),MA(q),ARMA(p,q)等，已经为我们所熟知。具体到模型的参数估

计在数据没有时，也有很多经典的办法，如最小二乘法、极大似然法等。但是当数据在中间有

时，上述方法将为力。本文将详细讨论在数据有时的ARMA（1，1）模型，即

Z=αZ+ε−βε的参数的估计方法。

tt−1tt−1

数据ARMA（1，1）模型似然函数EM算法

一、引言

我们知道在金融研究及实际的投资决策中，金融一直占据非常重要的地位，而在绝大

多数中，时间序列数据等相关的数据是进行的前提条件。但是，处理数据时的一

个必不可免的麻烦就是数据的的问题。，对这类问题处理不当，就会影响研究结果的

准确性。通常人们对数据问题的处理主要有以下几种：

当数据量很大，并且其它的部分很完整时，在保证剩余数据仍为连续的情况下，抛开的数

据进行；当数据量不够大时，可以利用其它的信息把的数据补上，比如利用求平均数

法，线性插值法等等。

可以说上述这些方法都是比较直观易懂的，但是它们又有各自明显的缺点，如多数时候的数据

受到信息完整性等的某些限制是不能够抛开的，而那两种直观的补数据的办法显然又没有充分利用

到已知的一些信息，使得相应的估计结果不够准确。到目前为止，在对数据有的情况下对其所

属的线形时间序列模型进行参数估计的相应理论研究的结果有：Ljung,G,M,(1982);Pernzer,J.and

Shea,B.(1997);ChunshengMa,(2002);董险峰和等（2003）等都分别对具有数据的

ARMA(1,1)和AR(p)模型的估计方法进行了探讨。其中马春生（ChunshengMa,2002）年在《时

间序列分析》上的文章《数据下ARMA(1,1)模型的极大似然估计》，处理的就是具有

数据时ARMA(1,1)的参数估计方法。该文应用的是极大似然的思想利用矩阵的性质和运算获得参

数的估计值满足一个方程组。但该方程组的缺点是形式复杂，不能直接获得显示解，需要通过数值

算法获得解的近似值。基于该缺点及我国的具体情况，本文将主要应用EM算法，对数据

从中间连续一个或两个（根据市场的了解，的数据多数为一个到两个）的情况

给出零均值的ARMA(1，1)模型的估计方法。我们给出了参数估计值的显示解的算法，相对而言使

估计结果更清晰易得。最后我们就一个数据的情况进行。

另外，EM算法是贝叶斯（Bayes）计算方法的一种，也是数据添加算法的一种，其是在观测

数据的基础上加一些“潜在数据”，从而简化计算并完成一系列简单的极大化模拟。该“潜在数据”

可以是（missingdata）数据或未知参数。

具体说EM算法是一种迭代方法，最初由帝姆斯德（Dempster）等提出，并主要用来求后验分

布的众数（或极大似然估计），它的每一次迭代由两步组成：E步（求期望）和M步（极大化）。一

~

L(α|z)表示未知参数的基于观测数据z的后验分布函数或似然函数，成为观测后验分布。

般以α

L(α|zy,)表示添加数据y后得到的关于α的后验分布密度函数，称为添加