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第二章

导数与微分

1

第一节导数的概念

一、引例

1.直线运动的瞬时速度问题

设变速直线运动的路程函数为s(t),

求时刻的瞬时速度t0

t0,t

取一邻近于的时刻运动时间t

t0t,ttt0,

ss(t)s(t)

平均速度v0

ttt0

当时取极限得

tt0,

s(t)s(t)

瞬时速度vlim0.

tt2

0tt0

12

例自由落体s(t)gt,求速度函数v(t).

2

1212

解sg(tt)gt

22

12

gttgt,

2

s1

gtgt，

t2

s1

所以v(t)limlimgtgtgt.

t0tt02

3

2.切线问题割线的极限位置——切线位置

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4

y

yf(x)

设N

M(x0,y0),N(x,y).

T

割线的斜率为

MNCM

yyf(x)f(x)

tan00

,ox0xx

xx0xx0

沿曲线C

NM,xx0,

f(x)f(x)

切线MT的斜率为ktanlim0.

xx

0xx0

5

2

例求抛物线yx在x1处的切线方程.

解y(1x)2122xx2,

y

2x,y

x

y

切线斜率为klim2,

x0x

1x

因此切线方程为

y12(x1),即2xy10.

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二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

定义设函数在点的某个邻域内有定义

yf(x)x0,

如果极限