贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结.pdfVIP

Bezier曲线、B样条曲线和

NURBS曲线

0.概述

1.贝塞尔曲线（BezierCurve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制

点上的权重组成。贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数

为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。贝塞尔曲线具有局部控制

的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控

制点的影响。贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能

会出现形状扭曲的问题。

2.B样条（B-Spline）：B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线

表示方法。与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一

个关联的基函数。这些基函数决定了曲线上每一点的形状。B样

条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地

描述复杂的曲线形状。B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑

性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3.NURBS曲线（Non-UniformRationalB-SplineCurve）：

NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以

调节曲线上各个点的影响程度。NURBS曲线能够表示更复杂的

曲线形状，如圆弧和椭圆等。

总的来说

Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的

控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活

性；

Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比

如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；

贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部

控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模

而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描

述各种曲线形状

Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例

1.Bezier曲线

1.1贝塞尔曲线的历史:

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔贝济埃（·Pierre

Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,

贝塞尔曲线最初由保尔德·卡斯特里奥于·1959年运用德卡斯特里奥

算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。贝塞尔曲线有着很

多特殊的性质,在图形设计和路径规划中应用都非常广泛,我就是想

在路径规划中

贝塞尔曲线完全由其控制点决定其形状,ｎ个控制点对应着ｎ－１

阶的贝塞尔曲线，并且可以通过递归的方式来绘制.

1.2一阶贝塞尔曲线

对于一阶贝塞尔曲线为我们可以看到是一条直线，通过几何知识，

很容易根据t的值得出线段上那个点的坐标.

给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条

线由下式给出：

一阶曲线就是很好理解,就是根据t来的线性插值.P0表示的是一个向

量[x,y],其中x和y是分别按照这个公式来计算的.

1.3二阶贝塞尔曲线

在平面内任选3个不共线的点，依次用线段连接。在第一条线段上

任选一个点D。计算该点到线段起点的距离AD，与该线段总长AB

的比例。

根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点E，使得

AD:AB=BE:BC

这时候DE又是一条直线了,就可以按照一阶的贝塞尔方程来进行线

性插值了,t=AD:AE

这时候就可以推出公式了.

整理一下公式,得到二阶贝塞尔公式：

1.4三阶贝塞尔曲线

四个点对应是三次的贝塞尔曲线.分别在ABBCCD之间采EFG点,

EFG三个点对应着二阶贝塞尔,在EFFG之间采集HI点来降阶为一阶

贝塞尔曲线.

公式：

动画效果

1.5贝塞尔曲线公式

贝塞尔的参数B是二项式(t+(1-t))n的展开公式.

递归公式：

1.6贝塞尔曲线的导数

变化一下贝塞尔公式

求导是直接对u就行求导,就是仅仅对参数项B进行求导.

定义:Q0=n(P1-P0),Q0=n(P2-P1),Q0=n(P3-P2),...Qn-1=n(Pn-Pn-1),

.如果我们把Q当做一组新的控制点,