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2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．求下曲线在给定点的切线和法平面方程：

(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点;

(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0(1,-2,1);

(3)y2=2mx,z2=m-x,点M0(x0,y0,z0).

解：

曲线在点的切向量为

当时，

切线方程为

.

法平面方程为

即.

（2）联立方程组

它确定了函数y=y(x),z=z(x)，方程组两边对x求导，得

解得

在点M0（1，-2，1）处，

所以切向量为{1，0，-1}.

故切线方程为

法平面方程为

1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0

即x-z=0.

(3)将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导，得

于是

曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为,故切线方程为

法平面方程为

.

2．求下列函数在所示点的导数：

(1)，在点；

解：

(2)，在点；

解：

(3)，在点；

解：

(4)在点.

解：

3．计算下列对坐标的曲面积分：

(1)，其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧；

(2)，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；

(3)，其中f(x,y,z)为连续函数，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧；

(4)，其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；

(5)，其中Σ为曲面与平面z=h(h0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

(6)，其中Σ为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；

解：(1)Σ：，下侧，Σ在xOy面上的投影区域Dxy为：x2+y2≤R2．

(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy面的投影为一段弧，

图11-8

故，Σ在yOz面上的投影

Dyz={(y,z)|0≤y≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为：

，(y,z)∈Dyz，

故

Σ在xOz面上的投影为Dxz={(x,z)|0≤x≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为：

，(x,z)∈Dxz，

故

因此：

(3)Σ如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为

n={1,-1,1}，n的方向余弦为

，，，

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得：

(4)如图11-10所示：

图11-10

Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z=0，Σ2：x=0，Σ3：y=0，Σ4：x+y+z=1，

故

由积分变元的轮换对称性可知．

因此．

(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：

(6)记Σ所围的立方体为Ω，

P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz．

由高斯公式有

4．证明：在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

证：，，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且．

，(x,y)∈G

因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分．

由

知．

5．设流速(为常数)，求环流量：

(1)沿圆周；

解：

(2)沿圆周.

解：

6．设某流体的流速V=(k,y,0)，求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.

解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量

（由高斯公式）

7．求由抛物线y=x2及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）c对于直线y=-1的转动惯量。

图10-65

解：

8．求直线与坐标轴围成的三角区域（a0,b0）对x轴及坐标原点的转动惯量（面ρ为常数）.

解：所围三角区域D如图10-37所示：

图10-37

9．如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x),f2(y),f3(z)的乘积，即f(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，积分区域为a≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即

证：

10．计算积分

解：由于

而收敛，

故收敛，从而，采用极坐标有：

11．解：因为为一常数，不妨设

则有

从而有

而

故

12．根据二重积分性质，估计下列积分的值：

（1）;

（2）;

（3）.

解：（1）因为当时，有,

因而.

从而

故

即

而（σ为区域D的面积），由σ=4

得.

(2)因为，从而

故

即

而

所以

（3）因为当时，所以

故

即

而

所以

13．在第I卦限内作椭球面

的切平面,使切平