2020-2021中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇附答案解析(1).docVIP

2020-2021中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇附答案解析(1)

一、二次函数

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3

（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是

（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）

【解析】

【详解】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．

解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC==5．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴，即，

∴HQ=t．

∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．

当△PBQ存在时，0＜t＜2

∴当t=1时，

S△PBQ最大=．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3．

∵点K在抛物线上．

∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．

∴S△CBK=．

S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）

=×4?EK

=2（﹣m2+m）

=﹣m2+3m．

即：﹣m2+3m=．

解得m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

2．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点抛物线经过O、C、D三点．

求抛物线的表达式；

点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

若沿CD方向平移点C在线段CD上，且不与点D重合，在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

【答案】（1）；（2）或或；（3）．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S（t﹣1）2；当t=1时，s有最大值为．

【详解】

（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴，解得，∴抛物线的表达式为：yx2x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k，∴直线OD解析式为yx．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（x2x）|=|x2﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=