离散数学第5章.ppt

第5章代数系统的一般性质5.1二元运算及其性质5.2代数系统及其子代数和积代数5.3代数系统的同态与同构1

5.1二元运算及其性质定义5.1设S是个非空集合且函数f:Sn→S，则称f为一个n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算。封闭2

定义5.3~设?和?为S上的二元运算，如果对?x,y,z?S，都有x?y=y?x，则称运算?在S上是可交换的，?在S上适合交换律。(x?y)?z=x?(y?z)，则称运算?在S上是可结合的，?在S上适合结合律。x?(y?z)=(x?y)?(x?z)，(y?z)?x=(y?x)?(z?x)，则称运算?对?是可分配的，?对?适合分配律。3

定义5.5设?为S上的二元运算，如果对?x?S，都有x?x=x，则称运算?在S上适合幂等律。S中的元素为幂等元。定义5.7设?为S上的两个可交换的二元运算，如果对?x,y?S，都有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x，则称?和?满足吸收律。4

幺元定义5.8设?为S上的二元运算，如果存在元素el(er)?S，使得对?x?S，都有el?x=x，则称el是S中关于运算?的一个左幺元；x?er=x，则称er是S中关于运算?的一个右幺元。若e?S关于?既是左幺元，又是右幺元，则称e是S上关于运算?的幺元。5

零元定义5.9设?为S上的二元运算，若存在元素θl(θr)?S，使得对?x?S，都有θl?x=θl，则称θl是S上关于运算?的左零元；x?θr=θr，则称θr是S上关于运算?的右零元。若θ?S关于?既是左零元，又是右零元，则称θ是S上关于运算?的零元。6

定理5.1设?为S上的二元运算，el和er分别为运算?的左幺元和右幺元，则el=er=e，且e为S上关于运算?唯一的幺元。定理5.2设?为S上的二元运算，θl和θr分别为运算?的左零元和右零元，则θl=θr=θ，且θ为S上关于运算?的唯一的零元。7

逆元定义5.10设?为S上的二元运算，e?S为运算?的幺元。对于?x?S，若存在元素yl?S(或yr?S)使得yl?x=e，则称yl是x的左逆元；x?yr=e，则称yr是x的右逆元。若y?S既是x的左逆元，又是x的右逆元，则称y是x的逆元。8

定理5.3设?为S上可结合的二元运算，e为运算?的幺元。对于x?S，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y，且y是x唯一的逆元。9

定义5.11设?为S上的二元运算，如果对?x,y,z?S，都有(1)若x?y=x?z且x不是零元，则y=z，(2)若y?x=z?x且x不是零元，则y=z，则称运算?满足消去律。10

5.2代数系统定义5.12设S是个非空集合，fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，k。由S及f1，f2，…，fm组成的系统，称为代数系统，简称代数。记作S，f1，f2，…，fk。11

子代数定义5.13设V=S，f1，f2，…，fk是代数系统，非空集合B?S，如果B对运算f1，f2，…，fk都是封闭的，且B与S含有相同的特异元，则称B，f1，f2，…，fk是V的子代数系统，简称子代数。记为B，f1，…?S，f1，…。12

积代数定义设S，⊙与T，○是同类型的，而S×T，?成为新的代数结构，其中S×T是集合S和集合T的笛卡儿积，且?定义如下：s1，t1?s2，t2=s1⊙s2，t1○t2，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。则称S×T，?为代数结构S，⊙和T，○的积代数，S，⊙和T，○为S×T，?的因子代数。13

5.3代数系统的同态与同构定义5.15