第四章-微分方程.ppt

§4.1定积分基本概念与性质*§1一阶微分方程1.引例1)物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中,在t=0时,测得其温度为u0=150℃,10分钟后测得其温度为u1=100℃.我们要求决定此物体的温度u和时间t的关系.并计算20分钟后该物体的温度(假定空气的温度保持为ua=24℃).?一、微分方程的基本概念第四章常微分方程解:由牛顿冷却定律得:(k为一正数)下面确定常数C的值:再确定常数k的值:将t=20代入得u2≈70℃.?2)跳伞模型假设有一跳伞运动员从一飞机上跳下,刚下跳时速度为零.然后,由于重力的作用,他下降的速度开始加快.但当下降的速度越来越快时,空气的阻力也越来越大.现假定空气的阻力与下降的速度成正比.试考察运动员的下降速度在降落伞打开以前是如何变化的,并求他的下落运动规律.空气的阻力f=kv.解:设运动员的质量为m,t时刻下落的速度为v(t),?则v(0)=0,加速度为由牛顿第二定律F=ma得:即若以s(t)表示t时刻下落的距离,则故s(t)满足下列关系式?在通解中给任意常数以确定的值后得到的解称为特解.2.定义含有未知函数及其导数或微分的等式叫做微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.如果在区间I上定义的某个函数满足微分方程,即把这个函数代入微分方程能使等式在I上恒成立,则称该函数为微分方程在区间I上的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为微分方程的通解.?确定通解中任意常数的值的条件称为定解条件.在自变量的同一个点(初始点)处所给的定解条件称为初始条件.一般地,n阶微分方程的初始条件有n个:其中y0,y1,y2,…,yn-1为已知常数.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为微分方程的初值问题.?例1.(1)y=x2,y=x2+C(C为任意常数)都是y=(C1+C2e3)ex=Cex(其中C=C1+C2e3).的解.其中y=x2是满足初始条件y(0)=0的特解.y=x2+C是其通解.(2)y=C1ex+C2e?x及y=C1ex+C2e3+x都是y???y=0的解.其中y=C1ex+C2e?x是其通解.但y=C1ex+C2e3+x不是通解,因为它可表示为?(3)求初值问题解:由(2)可知y=C1ex+C2e-x是y???y=0的通解.而y(0)=0,y?(0)=2,即y=ex?e?x.的解.故C1=1,C2=?1.于是得到该初值问题的解?二.一阶可分离变量的微分方程1.标准形式:其中f(x),g(y)连续.2.求解过程:(其中g(y)≠0,C为任意常数)F?(x)=f(x),?注②若有g(y0)=0,把y=y0代入可知y=y0也是原方程的解,称为常数解.注①我们把G(y)=F(x)+C称为的隐函数形式的通解(简称为隐式通解或通积分).注③上述求解方法称为分离变量法.?例2.求解方程解:分离变量得:ydy=?xdx,即x2+y2=C(C为任意常数).两边积分得:显式通解:?例3.解方程解:分离变量得:两边积分得:即并求满足y(0)=1的特解.(C为任意常数).此外y?0也是原方程的一个解.将初始条件代入通解得C=?1.故所求的特解为?三.一阶线性微分方程1.标准形式:其中p(x),q(x)连续.若q(x)?0,则称之为一阶线性齐次方程.否则称之为一阶线性非齐次方程.2.求解过程(1)对于分离变量得:两边积分得通解:?(2)对于采用常数变易法.的通解.①将的通解中的常数C换为C(x),得②代入化简得:③由上式得得④代入(*)⑤验算得(*)确实是?例4.解:原方程可化为故得原方程的通解为n为常数.先求得的通解y=C(x+1)n.y=C(x)(x+1)n两边对x求导得积分得代入原方程并整理得:为任意常数)