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规范答题系列一一数列综合问题
典［例］(12分)(2021•全国乙卷)设E｝是首项为1的等数列，数列｛bj满足bn=^.已知
a”3a2,9a3成等差数列.
⑴求瓜｝和限｝的通项公式；
S
(2)记Sn和Tn分别为｛aj和瓜｝的前n项和.证明：Ty.
n
♦导引助思•析考题
(1)看到设｛」是首项为1的等数列，想到设首项，表示其通项；然后根据已知a”3a2,
9a§成等差数列，列方程即可求得a，进而得解；
S
(2)看到证明：T„y,想到分别求出两个数列之和，进而证得不等式.
乙
【标准答案】(1)因为a,3a2,9a3成等差数列，
所以6a2=a1+9a3，①1分
因为｛“｝是首项为1的等数列，设其公为q,
则6q=l+9q2,所以q=；,②3分
n—1
所以a,=aqn-1=^J,③4分
1
所以bn=^=n8@5分
(2)证明：由(1)知an=(gn—1Tn
,b=n
n
km
IX1
=2
所以Sn=1=22⑤6分
1
3
Tn=lx1m2n
(l]+2X目++0，①
2m3nn+l
T=lX+2x1-1+…+n・,②…⑥7分
n3;
2
①一②得，eT,=-
Q10n-1
所以TfF⑦9分
…Sn31mn—1n
所以TL]=-X目-20,…⑧11分
s
所以Tn5⑨12分
乙
♦满分点拨•悟考题
考查知识：主要是等差数列的
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