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杨辉三角和二项式系数性质10.4二项式定理
杨辉三角九章算术杨辉
杨辉三角详解九章算法中记载的表
杨辉三角1.“杨辉三角”的来历及规律展开式中的二项式系数,当时,如下表所示:11121133114641151010511615201561
杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件
二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是:从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:当时,其图象是右图中的7个孤立点.
二项式系数的性质2.二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由公式得到.图象的对称轴:
二项式系数的性质(2)增减性与最大值由于:所以相对于的增减情况由决定.
二项式系数的性质(2)增减性与最大值由:可知,当时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
二项式系数的性质(2)增减性与最大值因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。
二项式系数的性质(3)各二项式系数的和在二项式定理中,令,则:这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:同时由于,上式还可以写成:这是组合总数公式.
例1证明在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
例2已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.
内容小结二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
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