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4.5函数的应用（二）

知识点一求函数的零点

【

【解题思路】探究函数零点的两种求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点

【例1】（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（???）

A．0 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】因为，令，解得，即函数的零点为1.故选：B.

【变式】

1．（23-24北京顺义·期末）函数的零点是（????）

A． B． C．10 D．

【答案】A

【解析】令，可得，解得，故函数的零点是.故选：A.

2．（2024湖南）函数的零点是（????）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【解析】由，设，则得，解得，从而，所以.

故选：C.

3．（2023高一上·全国·专题练习）若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是．

【答案】1和

【解析】∵函数的两个零点是2和3，∴，解得，∴，

令，解得或1∴的零点为1和.故答案为：1和

4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是.

【答案】0

【解析】令，由函数为上的单调函数，且，，得为常数，

则，且，于是，又函数在上单调递增，且，

因此，即，由，得，

所以函数的零点是0.故答案为：0

知识点二判断零点所在的区间

【

【解题思路】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.若f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

【例2-1】（2024辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

又函数，，在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

又，，

所以，

所以零点所在的大致区间为.

故选：B.

【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数在上是单调函数，，

设，所以，

所以，

因为与在上单调递增，所以有唯一解，解得，

所以，

又，，

故的零点所在的区间为.

故选：B.

【例2-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，

得，解得，即命题成立的充要条件是，

显然成立，不等式、、都不一定成立，

而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，

所以命题成立的一个必要不充分条件是.

故选：D

【变式】

1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，在上连续，且单调递增，

对于A，因为，，

所以的零点不在内，所以A错误，

对于B，因为，，

所以的零点不在内，所以B错误，

对于C，因为，，

所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，

对于D，因为，，

所以的零点不在内，所以D错误，

故选：C

2．（2024安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数在单调递减，函数在上单调递增，

所以在上单调递减，又，，

所以函数在上存在唯一零点.故选：D.

3．（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，设，

则，

故在上是单调递增函数；

又，，

由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.

故选：C.

4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（???）

A． B．2 C．或2 D．1

【答案】C

【解析】方程化为，

分别做出方程左右两边的图象，

从图象可知，方程，

方程有两个分别在和之间的根，

下面证明：方程在和之间各有一个实根，

设，

根据函数性质得在区间上是增函数，

又，，

则，

由零点存在性定理知，

在区间上仅有一个零点，

即方程区间上仅有一个实根，

同理可得方程区间上仅有一个实根，

结合题意可知，或，

故选：C.

知识点三二分法概念的理解

【

【解题思路】运用