专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略（原卷版）.docx

专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【类型一共顶点的等边三角形】 1

【类型二共顶点的等腰直角三角形】 11

【类型三共顶点的一般等腰三角形】 18

【典型例题】

【类型一共顶点的等边三角形】

例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

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(1)求证：BD=CE；

(2)求证：△ABM≌△ACN；

(3)求证：△AMN是等边三角形．

【变式训练】

1．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有个．

①；②；③；④；⑤若，则．

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2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．

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求证：(1)；

(2)为等边三角形；

3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

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(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；

(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：

(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．

4．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）【初步感知】

(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；

【类比探究】

(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

①与的位置关系为：；

②线段、、之间的数量关系为：；

【拓展应用】

(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

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【类型二共顶点的等腰直角三角形】

例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．

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(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．

(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．

【变式训练】

1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形和中，，点E在边上，与交于点F，连接．

(1)求证：；

(2)求证：．

2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；

（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．

3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明．

(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．

(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求：

①的度数；

②若，，则线段的长是多少？

【类型三共顶点的一般等腰三角形】

例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．

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(1)试说明：；

(2)求的度数．

【变式训练】

1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

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(1)如图1，当时，

①、的形状是____________；

②求证：．

(2)若，

①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；

②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．

2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．

(1)如图1，和为“同