振动力学(两自由度系统和多自由度系统).pptVIP

3.标准化振型与主振型的关系将主振型{X(i)}进行如下运算:Mi称为广义质量（主质量、模态质量）。设{X(i)}＝ci{XN(i)}，代入上式有:所以3.8.3自由振动的运动规律求出特征方程的n个特征值和对应的特征向量后,即得到振动方程的n个线性无关的特解,系统按任意一个固有频率作自由振动,称之为主振动,则第i阶主振动为(i＝1,2,…n)因而方程的通解应是上述特解的线性组合或写为其中常数ci、ai、Ai、Bi(i＝1,2,…,n)由初始条件确定。例如给出t＝0时的位移向量{x0}和速度向量{v0},则得到含有2n个方程的方程组或【3-11】图示系统中,m1＝m2＝m3＝m,k1＝k2＝k3＝k,设初始位移为1,初始速度为0,求初始激励的自由振动响应。解:则响应为:将振型代入并展开:前面的例题已经求得:解出各系数即可…代入初始条件得:由广义特征值问题([K]－w2[M]){X}={0}知3.8.4主振型的正交性两边分别左乘{X(j)}T和{X(i)}T得到与第一式相减得:由于[K]和[M]都是对称阵,上面第二式可写为显然也有:（i≠j）结论:当刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]都是对称阵时，n个固有频率对应的固有振型之间关于[K]和[M]都是正交的。所以:（i≠j）这里的Mi和Ki是两个实常数，分别称为系统的主质量和主刚度（或称模态质量和模态刚度）。由此可得到:当i＝j时:变换矩阵即振型矩阵,就是各阶振型组成的方阵变换矩阵3.8.5主坐标广义质量（主质量、模态质量）矩阵[Mp]和广义刚度（主刚度、模态刚度）矩阵[Kp]:主对角线元素为相应的主质量和主刚度，其它元素为零。即由主质量矩阵[Mp]和主刚度矩阵[Kp]可得到如下关系:对振动方程用振型矩阵进行变换用主坐标表示的运动方程代入方程后左乘[Q]T得或（i＝1,2,…n）这样原方程就变成了n个独立的(解耦的)固有频率为wi的简谐振动,这组广义坐标{Z}称为主坐标。1.标准振型矩阵即由标准振型构成的方阵:标准振型（正则振型）为标准坐标则有如下关系:同理有由于还有如下关系:2.标准坐标（正则坐标）下的方程对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换代入方程得到（i＝1,2,…n）这组广义坐标{ZN}称为标准坐标(正则坐标)。设振动方程的初始条件为{x0}和3.9多自由度系统对初始激励的响应对其进行正则坐标变换,转换为标准坐标（正则坐标）下的初始条件:利用单自由度的响应公式可得到初始激励下的正则坐标响应:（i＝1,2,…n）再变换到广义坐标{x}下的响应上述过程也可以在主坐标下进行。无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤:（1）建立振动方程,确定质量矩阵[M]和刚度矩阵[K];（2）求固有频率和振型;（3）确定标准（正则）振型矩阵;（4）对初始条件标准（正则）化;（5）计算标准（正则）坐标初始激励响应;（6）计算广义坐标初始激励响应。【3-12】m1＝m2＝m3＝m,k1＝k2＝k3＝k,设初始位移为1,初始速度为0,用标准坐标变换方法求初始激励下的自由振动响应。解:（1）（2）联立解得所以两自由度振动微分方程为复数解法3.7两自由度系统的强迫振动设干扰力为谐和函数,并表示为复数形式令方程的解为其中X1和X2为复振幅。将上式代入方程得其中(i,j=1,2)若为无阻尼系统,则振幅为若干扰力为正弦函数或余弦函数,则前面分析中相关的eiwt变为sinwt或coswt即可。即由此可看出:（1）当激励频率与系统的固有频率接近时,系统出现共振现象,即无阻尼振幅将达到无穷大,所不同的是,两自由度系统有两个共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅减小,在相同的阻尼下,频率高的共振峰降低的程度比频率低的大。因此实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模态的影响。和单自由度的概念类似,可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线——幅频响应曲线频率响应曲线共振现象【例3-8】在两自由度标准m-k系统中，设m