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初中数学知识点总结：勾股定理及其逆定理

知识点总结

一、勾股定理：

1.勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜

边长为c，那么a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于

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斜边的平方。

２.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积

不会改变；

（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推

导出勾股定理。

4.勾股定理的适用范围：

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，

它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就

不具有这一特征。

二、勾股定理的逆定理

1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a+b=c，

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那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角

三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的

可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的

平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角

三角形；

（2）定理中a，b，c及a+b=c只是一种表现形式，不可

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认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a+b=c，那么

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以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.

2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的

一般步骤：

（1）确定最大边；

（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；

（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，

则说明是直角三角形。

三、勾股数

能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.

四、一个重要结论：

由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较

小面积和等于较大面积”。

五、勾股定理及其逆定理的应用

解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯

子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。

常见考法

（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建

立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。

误区提醒

（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中

的一定是斜边。

【典型例题】（2010湖北孝感）

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我

国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家

华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为

地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语

言叙述）；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以

a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；

[知识拓展]