专题11 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略（原卷版）.docx

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】 8

【考点三巧妙割补求面积】 10

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】 14

【考点五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 20

【考点六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 25

【考点七实际问题中的方程思想】 28

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

例题：（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（???）

??

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为（????）

??

A． B． C． D．

2．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为（????）

A．12 B．24 C．6 D．5

3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．

4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．

??

5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．

(1)求的长．

(2)求斜边边上的高．

6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，，，是斜边上高．

(1)求的面积；

(2)求斜边；

(3)求高．

【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】

例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（???????）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（???????）

A．18 B．24 C．18或24 D．18或30

3．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．

【类型三巧妙割补求面积】

例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．

??

(1)求证：是直角三角形；

(2)求四边形的面积．

【变式训练】

1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

??

2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，．

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)求的面积．

3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．

??

(1)求这个四边形草地的面积；

(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？

4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

??

(1)求线段与的长；

(2)求四边形的面积；

(3)求证：．

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（????）

A．20 B．26 C．30 D．52

【变式训练】

1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（）

A． B． C． D．

2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．

3．（2023春·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，

(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；

(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；

(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．

4．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵