中考数学几何模型重点突破讲练专题24 勾股定理中的蚂蚁爬行模型（学生版）.pdf

专题24勾股定理中的蚂蚁爬行模型

【模型】如图，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求

蚂蚁从点到点C的最短路径。

E

【证明】

EEC

将上图正方体展开如图24-1，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。根据勾股定理可

得：22222

ECa(bc)abc2bc

【模型变式1】

如图24-2，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁

从点到点C的最短路径。

E

【证明】

将图中的正方体展开如图，可知点到点C的最短路径为图中的线段EC的长度。根据勾股

24-224-4E24-1

定理可得：22222。

EC(ab)cabc2ab

【模型变式2】

如图24-3，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁

E

从点到点C的最短路径。

【证明】

EEC

将图24-3中的正方体展开如图24-5，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。根据勾股

定理可得：22222。

EC(ac)babc2ac

BC

【例1】如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表

AB

面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）

．．．．

A35B1055C25D521

16

如图，在圆柱的截面中，＝，＝，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到

【例2】ABCDABBC12PA



BC的中点S的最短距离为_____．

【例3】如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm

(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的

最短路线是多少？

(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm?(结果可保留根

号)

一、单选题

1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝

3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）

A．10B．14C．106D．130

2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一

只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）

A．15cmB．16cmC．17cmD．18cm

3．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕

食，则它爬行的最短距离是（）

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．．