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2025届高考数学一轮复习一站式复习讲义－不等式

【高考考情分析】

不等式在高考中的主要命题点有：（1）不等式的性质及应用，常将不等式与函数相结合，注意不等式的等价变形；（2）不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；（3）一元二次不等式的恒成立问题，常与函数相结合；（4）利用基本不等式求最值、证明不等式及实际应用等，常与函数综合命题.不等式一般以选择题和填空题的形式出现，在解答题中也有出现，如求函数的单调区间、极值、最值时需要解不等式.

【基础知识复习】

1.不等式的基本性质

性质1如果，那么；如果，那么.即.

性质2如果，，那么.即.

性质3如果，那么.

性质4如果，，那么；如果，，那么.

性质5如果，，那么.

性质6如果，，那么.

性质7如果，那么.

2.基本不等式

（1）若，，当且仅当时，等号成立.

其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.

（2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3.一元二次不等式

一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，.

【重点难点复习】

1.两个实数比较大小的方法

（1）作差法

；；.

（2）作商法

；；.

2．不等式的倒数和分式性质

（1）倒数性质：，

.

（2）有关分式的性质：若，

则，；

，.

3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

（1）恒成立问题：若在区间D上存在最小值，则不等式在区间D上恒成立.

若在区间D上存在最大值，则不等式在区间D上恒成立.

（2）能成立问题：若在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.

若在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式成立.

（3）恰成立问题：不等式恰在区间D上成立的解集为D；

不等式恰在区间D上成立的解集为D.

【基本方法与技能复习】

1.利用不等式性质比较大小的常用方法

（1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.

其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式，当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差

（2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论.

（3）特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.

2.解含参数的一元二次不等式的步骤：

（1）二次项若含有参数应讨论参数与0的关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；

（2）判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式与0的关系；

（3）确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.

3.利用基本不等式求最值的方法

（1）拆（裂项拆项）：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件；

（2）并（分组并项）：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；

（3）配（配式配系数，凑出定值）：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值；

（4）换（常值代换、变量代换）：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式.

【典型例题复习】

1.【2024届·海南·校考】已知集合，，则()

A. B. C. D.2

2.【2024届·长沙一中·模拟考试】若正数a，b满足，则的最小值为()

A.4 B.6 C.9 D.16

3.【2024届·江苏前黄高中·一模】设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为()

A.12 B.24 C. D.

4.【2022年新高考Ⅱ卷】（多选）若x，y满足，则()

A. B. C. D.

5.【2020年新高考Ⅰ卷】（多选）已知，且，则()

A. B. C. D.

6.【2024届·海南华侨中学·二模】已知，，且，则的最小值为_______________．

答案及解析

1.答案：C

解析：因为或，所以.故选C.

2.答案：A

解析：由，可得，所以，由a，b为正数且，可得，，所以，当且仅当，即，时等号成立.故选A.

3.答案：B

解析：，，变形为，令，，则转化为，即，

其中，

当且仅当，即，时取等号，可知.故选B

4.答案：BC

解析：由基本不等式可得，，从而.结合题设条件，可得，以及，即，所以选项