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2025届高考数学一轮复习——数列讲义

【高考考情分析】

数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由与的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等.

等差数列是高考的重点考查知识，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式等，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，要善于运用函数与方程思想和整体带入思想解决有关等差数列问题，同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.

等比数列是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等，要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题，也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.

数列求和及数列综合应用是高考的热点题型，其中等差、等比数列的通项与求和，数列与函数、不等式的综合，以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，难度中等，要注重常规考法，也要注重数列与其他知识的综合创新，同时也要注重对结构不良类试题的训练.

【基础知识复习】

1.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

2.数列的递推公式：若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.

3.数列的前n项和：

①数列的前n项和的定义：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.

②数列的前n项和公式：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.

③由求通项公式：，，所以

4.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例如，数列①的公差.

5.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，.

6.等差数列的通项公式：首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.

7.等差数列前项和公式：，.

8.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.

9.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，.

10.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.

11.等比数列的前n项和公式：当时，或.

【重点难点复习】

1.等差数列的性质：

已知数列是等差数列，是的前n项和.

（1）若，则有.

（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.

（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.

（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.

（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.

2.等比数列的前n项和的性质：

（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.

（2）若，则成等比数列.

（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.

【基本方法与技能复习】

1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：

（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.

（2）具体策略：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于符号交替出现的情况，可用或，处理.

2.等差数列前n项和的最值求解得常用方法

（1）通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；

（2）前n项和法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值.

3.利用等差数列前n项和解决实际问题的步骤：

（1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列；

（2）若是等差数列，找出首项、公差、项数；

（3）确认问题是求还是；

（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解.

4.解决等差数列前n项和的基本运算题的思路方法及注意事项：

（1）注意公式与的选择使用；

（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，已知其中三