第一章空间向量与立体几何综合训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

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空间向量与立体几何

1．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（）

A． B． C． D．

2．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A． B．

C． D．

3．空间三点，，，则（）

A．与是共线向量 B．的单位向量是

C．与夹角的余弦值 D．平面的一个法向量是

4．给出下列命题：

①直线的方向向量为，直线的方向向量为，则

②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.

③平面的法向量分别为，则.

④平面经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.

其中真命题的序号是（）

A．②③ B．①④ C．③④ D．①②

5．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（）

A． B．

C． D．

6．如图，在棱长为的正方体中，点是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为（）

A．B．C．D．

7．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（）

A．30° B．45° C．60° D．120°

8．正方体的棱上到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

9．在四棱锥中，平面，是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（）

A． B． C． D．

10．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.

11．如图所示平行六面体中，，则___________.

12．如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：．

13．已知空间三点，，.

（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求向量在向量上的投影向量；

（3）求点到直线的距离.

14．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．

（1）求证：平面平面EFG；

（2）求平面与平面EFG间的距离．

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参考答案

1．D

【分析】

根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.

【详解】

由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；

由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；

假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，

所以,

因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；

故选:D.

2．D

【分析】

利用向量运算的三角形法则?平行四边形法则表示出即可．.

【详解】

解：因为平行六面体中，为与的交点

所以为的中点，

因为，，，

所以

故选：D

3．D

【分析】

由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：根据题意得，，

A：显然，所以与不共线，故错误；

B：的单位向量为，即为或，故错误；

C：，故错误；

D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确

故选：D

4．B

【分析】

依据题意得到：①求数量积，得到，即；②求数量积，可得到，故或；③利用与的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到，解出，，进而可求解．

【详解】

①，所以，即，所以①正确．

②，所以，所以或，所以②错误．

③因为，且，所以与是相交的．所以③错误．

④因为，，是平面的法向量，A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，

所以．所以，即，

解得，，所以．所以④正确．

故选：B.

5．C

【分析】

根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条异面直线所成的角.

【详解】

∵两条异面直线的方向向量分别是，，，又两条异面所成的角为，则，

故选C.

6．B

【分析】

先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可.

【详解】

以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系,

是左侧面上的一个动点,设，其中

，，

又，

设，

设，，

在上单调递减，在上单调递增，且

又且在上单调递减，时取最大值与的夹角的最大值为

故选：B

7．A

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；

【详解】

解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分