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2025届高考数学一轮复习讲义－平面解析几何

【高考考情分析】

直线与方程一般作为条件与圆锥曲线结合命题，命题点主要有三个方面：①有关直线的倾斜角、斜率、截距、平行或垂直等基础知识；②考查直线的方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式；③考查直线与圆锥曲线的位置关系.

圆与方程的主要命题点如下：①与直线、圆有关的综合问题，如求圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长、切线及三角形（四边形）的面积问题；②将圆的方程及几何性质，直线与圆、圆与圆的位置关系作为研究圆锥曲线几何量的桥梁及条件，主要以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题的一部分考查，要重点关注圆的几何性质在研究圆锥曲线几何量中的应用，特别是圆的切线问题在研究椭圆、双曲线几何性质中的应用，圆的几何性质与抛物线焦点弦、准线的结合，都有可能成为命题的热点.

椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的热点，命题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；②以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积、弦长等；③研究直线与椭圆的位置关系.这类命题常与向量、数列、圆、三角函数、方程、不等式等知识交汇，难度中等偏上.选择题、填空题应关注椭圆的定义和几何图形的性质在解题中的应用，解答题应重视和直线与椭圆的位置关系相关的典型题型的研究，在解题时，要充分利用数形结合、转化与化归等思想，注重数学思想在解题中的应用.

双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，命题主要体现两个特色：①以定义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等；②以特殊的几何图形、向量关系为命题背景，求解双曲线的标准方程、研究直线与双曲线的位置关系等，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.要关注双曲线的定义、渐近线方程、几何图形的性质在解题中的应用.

抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系一直是高考命题的热点，命题主要体现三个特色：①以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等；②以焦点弦为主线的几何图形为命题背景，求解焦点弦的长、三角形（四边形）的面积的值（或最值）等；③研究直线与抛物线的位置关系，这类命题常与向量、切线等知识综合进行考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上.选择题、填空题要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中的应用；解答题应重视直线与抛物线的位置关系中以焦点弦的性质及抛物线的切线等为命题背景的问题，注意设而不求法及根与系数的关系在解题中的应用.

圆锥曲线综合是高考的热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查的知识点较多，对能力要求较高.直线与圆锥曲线的解答题，主要是直线与椭圆、直线与抛物线的综合问题，特别是一些经典问题，如定点与定值、取值范围与最值、证明、探索性问题等，常与向量、数列等知识交汇，在涉及最值、范围的问题时，常与不等式、函数、导数等交汇.着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.

【基础知识复习】

1.直线的斜率和倾斜角：已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为.

经过两点的直线的斜率公式.

2.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线的斜率分别为.

（1）；（2）.

3.直线的方程

（1）点斜式：.

（2）斜截式：.

（3）两点式：.

（4）截距式：.

（5）一般式：(A，B不同时为0).

4.直线的交点坐标与距离公式

①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.

②两点间的距离公式.

特别地，原点与任一点的距离.

③点到直线的距离：点到直线的距离.

④两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为，，则两平行线的距离.

5.圆的方程

标准方程：，圆心为，半径为r.

一般方程：.

6.判断直线与圆的位置关系的方法：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交，相离，相切.

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则相交，相离，相切.

7.圆与圆的位置关系

设圆半径为，圆半径为.

圆心距与两圆半径的关系

两圆的位置关系

内含

内切

相交

外切

外离

8.椭圆的方程与简单几何性质

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

一般方程

焦点坐标

顶点坐标

范围

长轴长

短轴长

焦距

离心率

，

越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆

9.双曲线的几何性质

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

焦点坐标

顶点坐标

范围

对称性

关于x轴、y轴对称，关于原点对称

实、虚轴长

实轴长为，虚轴长为

离心率

双曲线的焦距与实轴长的比

渐近线方程

10.抛物线的方程与几何性质

标准方程

范围

准线

焦点

对称性

关于x轴对称

关于y轴对称

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