专题1.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）.pdf

专题1.3线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】

【北师大版】

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】1

【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】6

【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】10

【题型4线段垂直平分线的性质的综合运用】13

【题型5线段垂直平分线的判定】17

【题型6线段垂直平分线的作法】20

【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】23

【知识点1线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上.

【题型1线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】

【例1】（2022秋•南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，

PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝6．

【分析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易

得PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．

【解答】解：连接PB，PC，

∵点P在BC的垂直平分线上，

∴PB＝PC，

∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，

∴∠APE＝∠APF，

∴AE＝AF，

在Rt△PBE和Rt△PCF中，

=

=，

∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），

∴BE＝CF，

∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，

∴AB＝AC+CF+BE，

∵AB＝8，AC＝4，

∴BE＝CF＝2，

∴AE＝AC+CF＝6．

故答案为：6．

【变式1-1】（2022秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分

线BE与CD交于点F，与AC交于点E．

（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．

（2）求证：BF＝AC．

1

（3）试说明CE=BF．

2

【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；

（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；

（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，

理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△DBC是等腰直角三角形；

（2）∵BE⊥AC，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°，

∵∠BFD＝∠CFE，

∴∠DBF＝∠ACD，

在△BDF与△CDA中，

∠=∠=90°

∠=∠，

=

∴△BDF≌△CDA，

∴BF＝AC；

（3）∵BE是AC的垂直平分线，

1

∴CE=AC，

2

1

∴CE=BF．

2

【变式1-2】（2022秋•庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直

平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF

在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝

45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理