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2025届高考数学一轮复习讲义——计数原理与概率统计
【高考考情分析】
随机抽样的考查主要是三种抽样方法，尤其是分层抽样，一般以选择题和填空题的形式出现；对用样本估计总体的考查主要是统计图表的应用、样本的数字特征估计总体，单独命题时以小题形式出现，也常作为解答题的一问或一部分进行考查，注意以社会现实为背景，着重考查频率分布表、频率分布直方图及样本的数字特征的求解及应用的试题.
回归分析在高考中考查较多，主要考查求回归方程、利用回归方程进行预测，一般以解答题的形式出现，难度中等，有时也以小题形式出现，考查变量的相关性；对于独立性检验，一般以解答题中的一问进行考查，多与概率知识结合命题，特别是以社会现实问题为背景的统计、统计案例与概率相结合的综合题是今后命题的重点与难点，这与新课标对数据分析核心素养的要求密切相关.
随机事件的概率单独考查的概率较小，一般与其他知识综合考查，其中互斥事件和对立事件的概率是高考的重点考查内容，在与对立事件有关的题目中常利用“正难则反”的解题思想.以小题和解答题形式呈现，当以解答题形式呈现时，多与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题.
古典概型是高考的热点，常以选择题、填空题的形式呈现，主要考查古典概型，在高考中常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、统计等知识交汇命题，命题角度及背景新颖，考查知识全面，能力要求较高.在备考中要注意古典概型与数学文化、实际生活密切联系的问题，要加强实际应用问题的训练.
离散型随机变量及其分布列、均值与方差是高考的热点，常以实际问题为背景，与计数原理、古典概型等知识相结合，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，要特别注意二项分布与超几何分布问题及利用期望与方差决策的问题，主要以解答题的形式呈现，难度中等，近两年难度有加大的趋势，更加重视对考生的实际应用能力的考查，要重视对实际问题背景的分析与了解，要在审题、转化、建模等问题上下功夫，重视与其他知识的综合应用.
二项分布及其应用、正态分布是高考的热点，主要考查：①条件概率、相互独立事件的概率的求法，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会渗透在解答题中；②独立重复试验、二项分布、正态分布的应用，结合实际问题以解答题的形式出现.解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.主要考查考生的数据分析能力.
两个基本计数原理及排列与组合的综合应用有时单独考查，一般以小题的形式呈现；但更多地与概率知识相结合考查，此时，小题形式、解答题形式均有出现.题目主要以实际问题为背景，重点考查考生分析问题与解决问题的能力及逻辑推理素养.
二项式定理是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、二项展开式中项的系数等，难度为中低档，命题形式单一.主要以选择题、填空题的形式呈现，考查运算能力.
【基础知识复习】
1.
名称
定义
符号表示
包含关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）
（或）
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等
A=B
并事件
（和事件）
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
（或）
交事件
（积事件）
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
（或）
互斥事件
若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件
若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
且（U为全集）
2.古典概率模型：将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概率：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
4.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X
…
…
P
…
…
5.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布
若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，
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