第3章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题--新高考数学新题型一轮复习课件.pdf

新高考数学新题型一轮复习课件

第三章

§3.5利用导数研究恒(能)成立问题

题型一分离参数求参数范围

x2

例1(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)e－ax＋ax(a∈R).

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

x

当a＝0时，f(x)＝(x－2)e，

0

f(0)＝(0－2)e＝－2，

x0

f′(x)＝(x－1)e，k＝f′(0)＝(0－1)e＝－1，

所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，

即x＋y＋2＝0.

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

x2

方法一当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)e－ax

＋ax≥0恒成立.

当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R.

因为x2，所以g′(x)0，

所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增.

22

所以g(x)g(2)＝e，所以a≤e.

2

综上所述，a的取值范围是(－∞，e].

x

方法二f′(x)＝(x－1)(e－a)，

①当a≤0时，因为x≥2，

x

所以x－10，e－a0，所以f′(x)0，

则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，

f(x)≥f(2)＝0成立.

2

②当0a≤e时，f′(x)≥0，

所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)≥f(2)＝0成立.

2

③当ae时，在区间(2，lna)上，f′(x)0；

在区间(lna，＋∞)上，f′(x)0，

所以f(x)在(2，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，f(x)≥0

2

不恒成立，不符合题意.综上所述，a的取值范围是(－∞，e].

教师备选

(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝－(m＋1)x＋mlnx＋m，f′(x)为函数f(x)

的导函数.

(1)讨论f(x)的单调性；

①当m≤0，x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增.

②当0m1，x∈(0，m)时，f′(x)0，f(x)单调递增；

当x∈(m,1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增.

③当m＝1，x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增.

④当m1，x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增；

当x∈(1，m)时，f′(x)0，f(x)单调递减；

当x∈(m，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增.

(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围.

由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，

当0x1时，g′(x)0，

g(x)单调递减且g(x)0，

综上知0≤m≤e.

思维升华

分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x