浙江省数海漫游2025届高三第一次模拟考试数学 Word版含解析.docx

2025年“数海漫游”第一次模拟考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.

1.（）

A.0 B.1 C.2024 D.2025

【答案】A

【解析】

【分析】令，可得，结合指、对数运算求解.

【详解】令，则，

所以.

故选：A.

2.已知，，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式可得，即可得结果.

【详解】因为，

且，所以

故选：C.

3.已知长方体中，，则四面体的体积是（）

A. B.16 C. D.32

【答案】A

【解析】

【分析】可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥，结合棱柱、棱锥的体积公式运算求解.

【详解】如图所示：

可知四面体即为长方体中去掉4个全等的三棱锥，

所以四面体的体积为.

故选：A.

4.设，是单位向量，则的最小值是（）

A. B.0 C. D.1

【答案】D

【解析】

【分析】设，的夹角为，则，结合数量积的运算律分析求解.

【详解】设，的夹角为，

因为，则，

可得，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值是1.

故选：D

5.天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．

【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.

由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，

所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，

可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，

有种情况，

所以所求概率为.

故选：C.

6.若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义，对各个选项分析，可得结论．

【详解】由1，，成等差数列，可得，，

当时，，解得，

当时，由，可得，

上面两式相减可得，

化为，

由，即有，

是3为首项，2为公差的等差数列，可得，

对A，，

，

与数列不互为交错数列，故A选项错误；

对B，由，可得，

与数列不互为交错数列，故B选项错误；

对C，由，

，

与数列不互为交错数列，故C选项错误；

对D，由可得

，

与数列互为交错数列，故D正确．

故选：D．

7.已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（）

A. B. C.6 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．

【详解】设，则，，，

由，可得，则，有，

所以，

当且仅当，即时取等号．

则椭圆长轴长的最小值是.

故选：B．

8.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】整理可得，可得，利用图象解不等式可得，进而可得，则，利用图象解不等式可得，对比选项即可得结果.

【详解】因为，整理可得，则，

如图所示：

且当，

可知：与有3个交点，依次为，

可知的解集为，即，

此时，可得，则，

即，整理可得，

注意到，

可知与有3个交点，依次为，

则不等式的解集为，即；

对比选项可知：一定成立的只有选项D.

故选：D.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（）

A. B.

C. D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断.

【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

直线斜率为2，有，则.

依题意有或，

当时，，即，

解得，即直线的斜率为