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第二节简单不等式的解法第一章
内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在的大量不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.1.比较两个数(式)的大小2.不等式的性质及应用3.一元二次不等式的解法4.分式不等式的解法5.一元二次不等式恒成立问题1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算
强基础增分策略
1.比较两个实数大小的方法
2.不等式的性质性质性质内容对称性ab?;ab??传递性ab,bc?;ab,bc??可加性ab?a+cb+c可乘性ab,c0?;ab,c0??同向可加性同向不等式可以相加,但不能相减ab,cd??babaacacacbcacbca+cb+d
性质性质内容同向同正可乘性?同向,同正ab0,cd0??可乘方性ab0,n∈N*?anbn可开方性ab0,n∈N,n≥2?acbd
微点拨应用不等式的可乘性时,一定要注意乘数c的正负.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
开口向上的一元二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间
微思考1一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系?微思考2一元二次不等式ax2+bx+c0(或0)恒成立的条件是什么?提示:ax2+bx+c0(a0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c(a0)的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.
常用结论1.倒数性质的几个必备结论2.两个重要不等式若ab0,m0,则
增素能精准突破
考点一比较两个数(式)的大小典例突破A.XYB.XYC.X=YD.X与Y的大小关系不确定A.abc B.cbaC.cab D.bac
答案:(1)A(2)B
突破技巧比较大小常用的方法(1)作差法、作商法:(2)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
对点训练1(1)(2021四川达州诊断)设p=(a2+a+1)-1,q=a2-a+1,则()A.pq B.pq C.p≥q D.p≤q(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.?
答案:(1)D(2)abba
考点二不等式的性质及应用典例突破例2.(1)(2021云南大理模拟)下列说法中,正确的是()(2)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是.?
答案:(1)C(2)[5,10]对于选项D,当a=4,b=1,c=-1,d=-2时,满足ab,cd,但是ac=-4bd=-2,故D不正确.
(2)(方法1)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
突破技巧1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号方向不确定;
对点训练2(1)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()
答案:(1)D(2)A解析:(1)(方法1)根据数轴可得cba0,且|c||b||a|,对于选项A,因为cb,a0,所以c+ac,b-ab,则c+acbb-a,即c+ab-a,故A错误;对于选项B,因为cba0,|c||b||a|,所以c2b2a2,且b2ab,所以c2b2ab,即c2ab,故B错误;对于选项C,因为ba0,所以,故C错误;对于选项D,因为|b||a|,且c0,所以|b|c|a|c,故D正确.(方法2)不妨令c=-5,b=-4,a=-1,则c+a=-6b-a=-3,故A错误;c2=25ab=4,故B错误;|b|c=-20|a|c=-5,故D正确.故选D.
(2)∵三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,
考点三一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1.常系数一元二次不等式的解法典例突破
答案:(1)C(2)(-∞
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