湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期8月入学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则（????）

A． B．13 C．5 D．25

2．若函数的最小正周期不小于，则（????）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最大值为

3．若集合，则（????）

A． B． C． D．

4．若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，则（????）

A． B． C． D．

5．若两个等比数列的公比相等，且，则数列的前7项和为（????）

A． B．43 C． D．47

6．若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（????）

A． B．

C． D．

7．若，则（????）

A． B． C． D．

8．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（????）

A．该部门一年中请假天数为0的人数为10

B．该部门一年中请假天数大于5的人数为10

C．这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4

D．这30名员工一年中请假天数的平均数小于4

10．已知函数，则（????）

A．为奇函数

B．在其定义域内为增函数

C．曲线的切线的斜率的最大值为2

D．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值

11．若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（????）

A．圆锥的体积为

B．与底面所成角的正切值为3

C．圆锥内切球的线长度为

D．正四棱台外接球的表面积为

三、填空题

12．若，则．

13．曲线的周长为．

14．如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为．

??

四、解答题

15．已知是抛物线上的两点．

(1)求C的准线方程；

(2)若直线经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求的最小值．

16．如图，在直三棱柱中，D为的中点．

(1)证明：平面．

(2)若，求二面角的余弦值．

17．在中，分别是内角的对边，且．

(1)若为的中点，求的长；

(2)若，求的值．

18．在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为．

(1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率；

(2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率．

19．已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．

(1)计算．

(2)设函数．

①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求；

②若且，函数，证明：．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

C

B

D

A

D

ACD

ABD

题号

11

答案

BC

1．C

【分析】先根据复数相等得出,再应用复数的模的公式计算．

【详解】由，得