第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（原卷版）.docx

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（原卷版）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

(1)当Δ=时，方程有两个不相等的实数根：

(2)当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根：

(3)当Δ=时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根； (4)方程无实数根．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组6x-a≥-10-1+12x-18

A．35 B．30 C．26 D．21

【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

【例2】已知实数、满足，试求、的值．

【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2

A．-1 B．5 C．6 D．

【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m(x-a)2+b=0与n(x-a)2+b=0，称为“同类方程”．如2(x-

2、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的两个根为：

所以：，

韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

【知识点精讲】

【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：

(1)； (2)； (3)； (4)．

常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

【例4】．已知关于x的方程.

（1）若，方程两根分别为，，求和的值；

（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围.

【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值.

【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有两个实数根x1，x2．

(1)若x12+

(2)令T＝mx11-x1

【变式3】．已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）若是整数，求使的值为整数的所有的值．

【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x2-2022x+1=0的两根分别为a，b，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab=1