2024年全国中学生第五届英才杯竞赛数学试卷.doc

2024年全国中学生第五届英才杯竞赛数学试卷

一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝2∠ADC＝90°，若BD＝5，则四边形ABCD的面积最大值为（）

A． B． C． D．

2．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°，绕点C将BC逆时针旋转120°得到DC，连接AD、BD，则的值为（）

A． B． C． D．

3．如图，在△ABC中，，∠ACB＝45°，D为直线AC右侧一动点，经过C、D两点的圆分别与AC、BC相交于点E、G，且CE＝3，劣弧CD和劣弧EG的长度相等，BD与劣弧EG交于点F，则EF的最小值是（）

A．1 B． C． D．2

4．定义：在△ABC中，如果最大边长的平方与其余两边长的平方和相差一个数值m，则称m为△ABC的“勾股缩量”．如图，已知正方形ABCD和一点Q（点Q在对角线BD的左侧），在钝角△BQD中，若BD始终是最长边，且△BQD的“勾股缩量”m＝DQ?BQ，则代数式的最小值为（）

A． B． C． D．

5．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝135°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，D是AC中点，ED交BC于点F，过△ABC的外心G作GH⊥ED，K是HG的中点，则KD的长为（）

A． B． C． D．

6．若m、n∈R+，m（m﹣1）（m+1）+n（n2+1）＝0，当（1﹣m2）n﹣2取得最小值时，代数式m+n的值为（）

A． B．

C． D．

7．的最小值为（）

A． B．

C． D．

8．已知函数和，设2f（x）和g（x）的图象共有n个交点，并将这n个交点分别记为N1（x1，y1），N2（x2，y2）…Nn（xn，yn）（其中n是正整数），则下列说法正确的是（）

A．g（x）极大值和极小值的和为0

B．设g（x）的切线方程为y＝ax+b，则

C．当x的值趋近于常数A（|A|的值足够大）时，2f（x）的值会无限趋近于常数2

D．是不成立的

二.不定项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

（多选）9．如图，考虑二次函数内接正多边形，可以被内接的正多边形有（）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

（多选）10．对于函数，下列说法正确的有（）

A．此函数的图象是一个对称图形

B．当时，f（x）取得最大值

C．设f（x）的切线方程为y＝kx+b，则当x＝1时，k＝|2b|

D．函数g（x）＝|f（x）﹣2|的单调性在区间[﹣10，10]内会改变7次

（多选）11．已知函数f（x）＝x2﹣2x，将f（x）的零点从左到右记为A、B、C，极值点为D和E．则在下列结论中，正确的有（）

A．f（x）和g（x）＝x4﹣4x的交点共有四个，且当?x∈R时，f（x）和g（x）不相切

B．过C作f（x）的切线，则此切线也是△DEC外接圆的切线

C．将△ADC沿直线DE翻折得到△A′DC′，记△ADC，△A′DC的外心分别为G和H，GH交AE、DC′、DE于P、Q、R，则

D．f（x）和有三个交点，且S围成的封闭图形＞2

三.填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12．在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数l：y＝2x+3交于点A、B（A在B的左侧），C（15，7）是平面内一点，M是G上一点，且保证M点始终在l的下方（包含A、B），过点M作MN⊥x轴于点N，D是MN上一点，过D作DE⊥y轴于点E，连接AE（AD），CD（EC），且A、C总是连接在其同侧的点．当MN最大时，CD+ED+AE或AD+ED+CE的最大值为．

13．已知曲线．在平面直角坐标系xOy中，给定点A（0，3）和B（2，0），曲线过点A、B．若在F的图象上有一点P，使得SABP＝4，则所有满足题意的P点的横坐标之和为．

14．已知平面直角坐标系中C：f（x）＝x2﹣2x﹣2和G：g（x）＝，绕原点O，将C顺时针旋转30°得到C′，将G逆时针旋转60°得到G′．设C′和G′的图象共有n个交点，且将这n个交点的纵坐标分别记作y1，y2，…，yn．若yi（i∈N+且1≤i≤n）的值可以表示为F（t）＝，且t∈R，则t的值为．

四.解答题（本大题共5个小题，共77分）

15．在平面直角坐标系中，已知椭圆．

（1）若C经过点A（2，0）和B（0，1），求C的解析式．

（2）设F2是C的右焦点，过F2作倾斜角分别为30°和60°的直线l1和l2，分别与C交于A、B、C、D，试求这四个点所构成凸四边形的面积．

16．[情景引入]

一天语文课中，核老师的语文老师想让每位同学都可以体验到回答问题的快乐，可是班级中的同学总是因为社