概率中的综合问题-高考数学复习.pptx

概率中的综合问题

概率中的综合问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问

题的关键是通过阅读理解题意，作出分析判断，获取关键信息；搞清

各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型，把实际问题转化为

数学问题，结合已有的数学知识，对实际问题作出合理的解释或决策.

概率与函数的交汇问题【例1】根据社会人口学研究发现，若一个家庭有X个孩子，则X的

概率分布列如下表所示（取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0）.X0123Pα（1－p）2αα（1－p）其中0＜α＜p＜1.为了调控未来人口结构，需要对参数p进行宏观调

控，研究表明p的值受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教

育、医疗福利的增加等）.

（1）若希望P（X＝2）增大，如何调控p的值？?

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解题技法概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变

量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可

借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题

应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，

由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，

式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，

一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.

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（1）求P（X＝3）的最大值；??

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【例2】（2023·新高考Ⅰ卷21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人

投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.

无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的

命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为0.5.概率与数列的交汇问题（1）求第2次投篮的人是乙的概率；解：设“第2次投篮的人是乙”为事件A，则P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；?

?

?解：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值

为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表

示第i次投篮的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.

?

解题技法概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率

的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所

求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关

系的准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转

化为数列模型问题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通

过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用

数列的性质，准确应用相关公式.

（2024·临沂一模）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传

球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都

等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.

（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分

布列；?X123P

（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练，且第1次由甲将球传

出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，….①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn＋1与pn的关系式，并求pn（n∈N*）.?

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【例3】最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次

试验的成功概率为p（0＜p＜1）.现对该产品进行独立重复试验，若

试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8

次.记X为试验结束时所进行的试验次数，X的数学期望为E（X）.概率中的证明问题

?解：证明：由题意，X＝1，2，3，…，8，故P（X＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，…，7，P（X＝

8）＝（1－p）7.分布列如下表所示：X1234Ppp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3X5678Pp（1－p）4p（1－p）5p（1－p）6（1－p）7

?

（2）某公司意向投资该产品，若p＝0.2，每次试验的成本为a（a＞

0）元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请

说明理由.?

解题技法解决概率中的证明问题的关键是理解随机事件中互斥、对

立、独立事件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的

意义及性质，掌握随机变量的分布列、均值、方差的计算公式，

掌握二项分