奔驰定理与三角形的四心(学生版).pdf

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第一部分

第一部分

知识笔记

知识笔记

奔驰定理与三角形的四心

1定义

奔驰定理:设OΔ是ABC内一点,ΔBOC,ΔAOC,ΔAOB的面积分别记作S,S,S,

ABC

S则⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0.

ABC

2说明

1.本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

2.奔驰定理在三角形四心中的具体形式:



O(1)Δ是ABC的重心⇔S:S:S=1:1:1⇔OA+OB+OC=0.

ABC

O(2)Δ是ABC的内心⇔S:S:S=a:b:c⇔a•OA+b•OB+c•OC=0.

ABC

O(3)Δ是ABC的外心⇔S:S:S=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2A•OA+sin2B•OB+

ABC

sin2C•OC=0.

O(4)Δ是ABC的垂心⇔S:S:S=tanA:tanB:tanC⇔tanA•OA+tanB•OB+

ABC

tanC•OC=0.

3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”

相关的问题,有着决定性的基石作用.

·1·

第二部分

第二部分

题型方法

题型方法

3【典型例题】



1O为三角形内部一点,a、b、c均为大于1的正实数,且满足aOA+bOB+cOC=CB,

若S、S、S分别表示ΔOAB、ΔOAC、ΔOBC的面积,则S:S:S为()

ΔOABΔOACΔOBCΔOABΔOACΔOBC

111222

A.(c+1):(b-1):aB.c:b:aC.::D.c:b:a

ab-1c+1



2在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,a==b4,c=6,I是△ABC中内切圆的圆心,若AI=



xAB+yAC,则x=_____,y=_____.

·2·



3设H是△ABC的垂心,若3HA+4HB+5HC=0,则cos∠BHC的值为()

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