奔驰定理与三角形的四心（解析版）.pdf

第一部分

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知识笔记

知识笔记

奔驰定理与三角形的四心

1定义

奔驰定理：设OΔ是ABC内一点，ΔBOC,ΔAOC,ΔAOB的面积分别记作S,S,S,

ABC

S则⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0.

ABC

2说明

1.本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

2.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：



O(1)Δ是ABC的重心⇔S:S:S=1:1:1⇔OA+OB+OC=0.

ABC

O(2)Δ是ABC的内心⇔S:S:S=a:b:c⇔a•OA+b•OB+c•OC=0.

ABC

O(3)Δ是ABC的外心⇔S:S:S=sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2A•OA+sin2B•OB+

ABC

sin2C•OC=0.

O(4)Δ是ABC的垂心⇔S:S:S=tanA:tanB:tanC⇔tanA•OA+tanB•OB+

ABC

tanC•OC=0.

3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.

4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”

相关的问题，有着决定性的基石作用．

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第二部分

第二部分

题型方法

题型方法

3【典型例题】



1O为三角形内部一点，a､b､c均为大于1的正实数，且满足aOA+bOB+cOC=CB，

若S､S､S分别表示ΔOAB､ΔOAC､ΔOBC的面积，则S:S:S为()

ΔOABΔOACΔOBCΔOABΔOACΔOBC

111222

A.(c+1):(b-1):aB.c:b:aC.::D.c:b:a

ab-1c+1

【答案】A



【解析一】由aOA+bOB+cOC=CB，∴aOA+bOB+cOC=OB-OC，



∴aOA=1-bOB-1+cOC，∴aOA+b-1OB+1+cOC=0，