2024年湖南省衡阳市船山杯七年级竞赛数学试卷.doc

2024年湖南省衡阳市船山杯七年级竞赛数学试卷

一.填空题（共10小题，每小题8分，共80分）

1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{2，4，6，8}，B＝{3，4，5，6}，则?U（A∪B）＝．

2．设集合A＝{x，xy，xy﹣1}，其中x∈Z，y∈Z且y≠0，若0∈A，则A中的元素之和为．

3．已知，a，b是正整数．若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为．

4．已知多项式x2+mx+5＝（x+p）（x+q），p，q为整数，则m的值为．

5．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是．

6．分解因式：x6﹣28x3+27＝．

7．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2＝4（c+a）（c﹣a），且5a﹣3c＝0，则sinA+sinB+sinC＝．

8．在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．若n条直线将一个平面分成an个部分，n+1条直线将一个平面分成an+1个部分．试探索an、an+1、n之间的关系为.（用含an、an+1、n的代数式表示）．

9．∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β．∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+?+∠Pn﹣1＝（用含α、β、n的代数式表示）．

10．如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，则tanA＝．

二.解答题（共6小题，11-14每题10分，15-16每题15分，满分70分）

11．已知A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2a＜x＜a+4}．

（1）当a＝1时，求A∩B和A∪B；

（2）若A∩B＝?，求实数a的取值范围．

12．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，，CD＝8．（1）求证：∠BAC＝90°；

（2）点P为边BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．

13．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny，据此：

（1）判断下列等式成立的是（填序号）．

①；②sin2x＝2sinx?cosx；③sin（x﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny．

（2）利用上面的规定求①sin75°；②sin15°．

14．在线段AB上，先在A点标注0，在B点标注2010，这称为第一次操作；然后在AB的中点C处标注＝1005，称为第二次操作；又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半，即与称为第三次操作；依次下去．那么经过11次操作之后，在线段AB上所标注的数字的和是多少？

15．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF，CF，AF．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，且∠AFC＝35°，则∠FAC的度数是多少？

（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，请判断∠AFC和∠FAC的数量关系，并证明你的结论；

（3）点E在直线AD上运动，若存在一个位置，使得△ACF是等腰直角三角形，请直接写出此时∠EBC的度数．

16．如图1，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．

（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．

（2）圆圆防盗水印，将一副三角板如图2所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．