第5单元 圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版.docx

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圆

(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)

【圆的认识与圆周率】

1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．

2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．

【圆及其性质】

1、圆的概念：

（1）、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。

（2）、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。

（3）、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。

2、圆的性质：

（1）、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。

（2）．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。

（3）、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

（4）、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

【圆、圆环的面积】

1、圆的面积公式：S＝π

2、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（

【圆、圆环的周长】

1、圆的周长＝πd＝2πr，

2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．

3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．

【扇形的面积】

扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，即：S=nπ

【扇形的认识】

1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形

2、扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。

弧长＝圆心角度数/360°×2×圆周率×半径

【典例1】已知一个圆形苗圃和一块正方形菜地的周长相等，正方形菜地的边长是157m，圆形苗圃的半径是多少米？

【答案】100米；631.14平方米。

【思路分析】先根据正方形的周长＝边长×4，求出圆的周长，再根据圆的周长＝π×半径×2，求出半径即可。

【解答】解：157×4＝628（米）

628÷3.14÷2

＝200÷2

＝100（米）

100+1＝101（米）

3.14×101×101﹣3.14×100×100

＝32031.14﹣31400

＝631.14（平方米）

答：圆形苗圃的半径是100米；小路的面积是631.14平方米。

【名师点评】熟练掌握正方形和圆的周长公式，是解答此题的关键。

【典例2】如图所示，这一张长方形的纸片上刚好剪两个最大的圆，已知一个圆的周长是12.56cm．

（1）两个圆的面积共多少？

（2）长方形的面积与两个圆的面积的比是多少？

（3）剪下两个圆后，剩下的面积是多少？

【答案】见试题解答内容

【思路分析】（1）先根据圆的周长公式求出这个圆的半径是：12.56÷3.14÷2＝2（厘米），再根据圆的面积＝πr2求出一个圆的面积，再乘2即可解答；

（2）观察图形可知，长方形的长是2×4＝8（厘米）、宽是2×2＝4（厘米），据此求出长方形的面积是8×4＝32（平方厘米），再求出长方形的面积与两个圆的面积的比即可解答；

（3）用上面求出长方形的面积减去两个圆的面积，即可求出剩下的面积．

【解答】解：（1）12.56÷3.14÷2＝2（厘米）

3.14×22×2

＝3.14×4×2

＝25.12（平方厘米）

答：两个圆的面积共有25.12平方厘米．

（2）长方形的长是2×4＝8（厘米）

宽是2×2＝4（厘米）

长方形的面积是8×4＝32（平方厘米）

则长方形的面积与圆的面积之比是：

32：25.12

＝3200：2512

＝（3200÷16）：（2512÷16）

＝200：157

答：长方形的面积与两个圆的面积的比是200：157．

（3）32﹣25.12＝6.88（平方厘米）

答：剩下的面积是6.88平方厘米．

【名师点评】此题主要考查了圆的周长、面积公式以及长方形的面积公式的综合应用，解答此题关键是明确长方形的长与宽与圆的直径的关系．

【典例3】在一块草地的木柱上拴着一头牛，拴牛的绳长为5m（拴在木桩上的绳子忽略不计），牛最多可吃到草的面积是多少平方米？

【答案】见试题解答内容

【思路分析】牛能吃到草的面积，就是以5米为半径的圆的面积，由此利用圆的面积公式S＝πr