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二元二次方程组的解法--第1页
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二元二次方程组的解法
一、内容综述:
1.解二元二次方程组的基本思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化
为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因此,掌握好消元和降次的一
些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2.二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型,又分别成
为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由
两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是:
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示;
②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程;
③解这个一元二次方程,求得一个未知数的值;
④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二
次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题;
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。
(2)逆用根与系数的关系
对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系
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数的关系,把x、y看做一元二次方程z-az+b=0的两个根,解这个方程,求得的z和z的值,
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就是x、y的值。当x=z时,y=z;当x=z时,y=z,所以原方程组的解是两组“对称解”。
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注意:不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时
要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。
注意:(1)解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方
程组。(2)要防止漏解和增解的错误。
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二元二次方程组的解法--第1页
二元二次方程组的解法--第2页
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“二·二”型方程组的解法
(i)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一
次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组,解得这两个“二·一”
型方程组,所得的解都是原方程组的解。
(ii)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方
程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组
成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的
解。
注意:“二·一”型方程组最多有两个解,“二·二”型
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