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2024年全国中学生第五届英才杯竞赛数学试卷

一.单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝2∠ADC＝90°，若BD＝5，则四边形ABCD的面积最

大值为（）

A．B．C．D．

2．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°，绕点C将BC逆时针旋转120°得到DC，连接

AD、BD，则的值为（）

A．B．C．D．

3．如图，在△ABC中，，∠ACB＝45°，D为直线AC右侧一动点，经过C、D两点的圆分别

与AC、BC相交于点E、G，且CE＝3，劣弧CD和劣弧EG的长度相等，BD与劣弧EG交于点F，

则EF的最小值是（）

A．1B．C．D．2

4．定义：在△ABC中，如果最大边长的平方与其余两边长的平方和相差一个数值m，则称m为△ABC

的“勾股缩量”．如图，已知正方形ABCD和一点Q（点Q在对角线BD的左侧），在钝角△BQD中，

若BD始终是最长边，且△BQD的“勾股缩量”m＝DQ•BQ，则代数式的最小值为（）

A．B．C．D．

5．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝135°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，D是AC中

点，ED交BC于点F，过△ABC的外心G作GH⊥ED，K是HG的中点，则KD的长为（）

A．B．C．D．

+22﹣2

6．若m、n∈R，m（m﹣1）（m+1）+n（n+1）＝0，当（1﹣m）n取得最小值时，代数式m+n的值

为（）

A．B．

C．D．

7．的最小值为（）

A．B．

C．D．

8．已知函数和，设2f（x）和g（x）的图象共有n个交点，并

将这n个交点分别记为N1（x1，y1），N2（x2，y2）…Nn（xn，yn）（其中n是正整数），则下列说法正

确的是（）

A．g（x）极大值和极小值的和为0

B．设g（x）的切线方程为y＝ax+b，则

C．当x的值趋近于常数A（|A|的值足够大）时，2f（x）的值会无限趋近于常数2

D．是不成立的

二.不定项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

（多选）9．如图，考虑二次函数内接正多边形，可以被内接的正多边形有（）

A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形

（多选）10．对于函数，下列说法正确的有（）

A．此函数的图象是一个对称图形

B．当时，f（x）取得最大值

C．设f（x）的切线方程为y＝kx+b，则当x＝1时，k＝|2b|

D．函数g（x）＝f|（x）﹣2|的单调性在区间[﹣10，10]内会改变7次