湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 本章总结提升.ppt

;知识网络·整合构建;;;专题一导数的几何意义;【例1】已知函数f(x)=x3+x-16.

(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;

(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;;∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.

∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).;切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,

即4x-y-18=0或4x-y-14=0.;规律方法1.导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的不同.

2.围绕着切点的三个等量关系:已知切点(x0,y0),则(1)k=f(x0);(2)y0=f(x0);(3)(x0,y0)满足切线方程.;变式训练1(1)已知直线y=kx(k0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切,则a的取值范围是()

A.(-∞,0)∪(0,e)

B.(0,e)

C.(0,1)∪(1,e)

D.(-∞,0)∪(1,e);解析函数f(x)=x-alnx(a≠0)的定义域为(0,+∞),设直线y=kx(k0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切于(x0,kx0)(x00),;(2)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.?;专题二利用导数研究函数的单调性;【例2】已知函数g(x)=lnx-ax2+(a-2)x,讨论g(x)的单调性.;规律方法研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数在不同取值的情况下函数的单调性,主要讨论点:

(1)最高次项系数是否为0;

(2)导函数是否有零点;

(3)导函数两零点的大小关系;

(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.

【提醒】(1)若函数的导数中自变量的最高次项含参数,需要考虑参数的正负对函数单调性的影响.

(2)若导函数的解析式的主要部分是一个二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次多项式是否存在零点,这里涉及对判别式Δ≤0和Δ0的讨论.;变式训练2已知函数f(x)=x2-alnx.讨论函数f(x)的单调性.;专题三利用导数研究函数极值与最值;解(1)f(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)·(x+1),令f(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因为a0,所以x1x2.

当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:;(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,3]上单调递增,所以f(a)为最小值,;专题四导数的综合应用;角度1.利用导数研究方程的根(函数的零点)

【例4】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不相等的实数根,求a的取值范围.;规律方法利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数的问题,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最大(小)值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.;变式训练3已知函数f(x)=ex-ax-1,其中a为实数,若方程f(x)=0在(0,2]上有实数根,求a的取值范围.;角度2.利用导数构造函数解不等式(比较大小)

【例5】函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足f(x)0,xf(x)-f(x)0,则对任意正数a,b,若ab,则必有()

A.af(b)bf(a) B.bf(a)af(b)

C.af(a)f(b) D.bf(b)f(a);规律方法1.根据已知条件中导数的符号比较大小,其关键在于利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,进而根据单调性比较大小.

2.根据原函数与导函数的关系构造不等式的方法:(1)若已知f(x)+f(x)的符号,常构造函数g(x)=exf(x),而涉及f(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=enxf(x);(2)若已知f(x)-f(x)的符号,则构造函数g(x)=,而涉及f