湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.3.3 三次函数的性质 单调区间和极值.ppt

;;基础落实·必备知识一遍过;;;情形3:函数F(x)有两个零点x=u和x=v,设uv.

(1)若a0,则F(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为,在(u,v)上为,?

对应地,F(x)在(-∞,u)上递增,在(u,v)上递减,在(v,+∞)上递增.

可见F(x)在x=u处取,在x=v处取.?

(2)若a0,则F(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为,在(u,v)上为,?

对应地,F(x)在(-∞,u)上,在(u,v)上,在(v,+∞)上.?

可见F(x)在x=u处取,在x=v处取.?;名师点睛

三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象和性质(其中f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)的判别式Δ=(2b)2-4×3a×c=4(b2-3ac),其中x1,x2是方程3ax2+2bx+c=0的两个根,且x1x2,x0为Δ=0时,方程的根).;a0;自主诊断

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)函数f(x)=x3+1无极值.()

(2)三次函数的导数一定是二次函数.();2.函数f(x)=x3-6x2-15x+2的极大值点是,极小值点是.?;4.函数f(x)=x3-12x的极大值是,极小值是.;;名师点睛

1.函数的极值是在局部范围内讨论的问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.

2.函数的极值只能在区间内部取得,而最值可能在区间内部取得,也可能在区间的端点处取得.函数有极值不一定有最值,有最值也不一定有极值,最值只要不在端点处取得就一定在极值点处取得(常数函数除外).

3.若函数在一个闭区间上存在最大(小)值,则最大(小)值只能有一个,即具有唯一性;而函数的极值可能有多个,也可能一个也没有.;自主诊断

1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值.()

(2)若f(x)在[a,b]上有最小值,则最小值一定是在x=a和x=b处取得.();2.求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2,2]内的最值.;;探究点一三次函数的极值及应用;故f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).因而函数的极大值为f(1)=,极小值为f(2)=3.;变式探究若本例的函数解析式变为,a∈R,讨论函数零点的个数.;(1);图3;令g(x)=0,则x1=1,x2=2.

当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:;在同一直角坐标系内作出???数y=g(x)与y=a的图象如图所示,;规律方法1.函数极值的一个重要应用就是研究函数的零点(或函数对应方程的根),方法主要是:利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出函数的大致图象,结合极大值和极小值的符号及函数图象判断零点个数.

2.根据函数的导数研究含参数的函数零点个数时,若能够分离参数,也可以分离参数后利用数形结合思想求解.;探究点二函数的最值;规律方法利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

(2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b);

(3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.

【提醒】求函数在给定区间的最值时,比较极值与端点函数值的大小时,可以利用作差比较法比较大小.;变式训练1[人教A版教材例题]求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值.;角度2.含参数的函数的最值

【例3】已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.;规律方法含参数的函数最值的求解方法

若导函数可能等于0,则利用导数求出函数的驻点,结合驻点的大小进行分类讨论,确定函数的极值点.求出极值后,还要与端点值比较,最后确定最值.;变式训练2若a0,求函数f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.;;;1;1;1;1;1;1;1;1;