湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第4章一元函数的导数及其应用 解答题专项 第3课时 利用导数研究函数的零点.pptVIP

;;(2)证明设g(x)=f(x)=ex-4cosx,则g(x)=ex+4sinx.

显然当x∈(0,π]时,g(x)0,当x∈(π,+∞)时,g(x)eπ-40,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.;[对点训练1](2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=ex+(a-e2)x,其中a∈R.

(1)若a=e2-2,求函数f(x)在[0,2]上的最值;

(2)当a0时,证明:F(x)=f(x)-ax2在(0,2)内存在唯一零点.;考向2数形结合确定零点个数

例2(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)=.

(1)求函数f(x)的最值;

(2)讨论函数g(x)=aex-lnx-1的零点个数.;(2)函数g(x)=aex-lnx-1的零点个数就是方程aex-lnx-1=0的解的个数,整理;[对点训练2](2024·重庆巴蜀期末)已知函数f(x)=ax-lnx-2.

(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;

(2)讨论函数f(x)的零点个数.;作出函数g(x)的图象(如图所示),因此当ae时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0ae时,直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点.;综上,当ae时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0ae时,函数f(x)有2个零点.;;不能忽视函数的定义域;借助(1)问的结果;构造函数;[对点训练3](12分)(2023·河南郑州模拟)设函数f(x)=aex+cosx,其中a∈R.

(1)若a=1,证明:当x0时,f(x)2;

(2)若f(x)在区间[0,π]上有两个不同的零点,求a的取值范围.;;(3)由(1)得f(x)=x-x3e-x+1(x∈R),f(x)=1-(3x2-x3)e-x+1,由(2)知f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(-∞,0),(x1,x2)上单调递增,当x0时,f(-1)=1-4e20,f(0)=10,即f(-1)f(0)0,所以f(x)在(-∞,0)上存在唯一零点,不妨设为x3,则-1x30,此时当xx3时,f(x)0,f(x)单调递减;当x3x0时,f(x)0,f(x)单调递增;所以f(x)在(-∞,0)上有一个极小值点.;当x∈(0,x1)时,f(x)在(0,x1)上单调递减,则f(x1)=f(3-)f(1)=1-20,故f(0)f(x1)0,所以f(x)在(0,x1)内存在唯一零点,不妨设为x4,则0x4x1,此时当0xx4时,f(x)0,f(x)单调递增;当x4xx1时,f(x)0,f(x)单调递减,所以f(x)在(0,x1)上有一个极大值点.

当x∈(x1,x2)时,f(x)在(x1,x2)上单调递增,则f(x2)=f(3+)f(3)=10,故f(x1)f(x2)0,所以f(x)在(x1,x2)???存在唯一零点,不妨设为x5,则x1x5x2,此时当x1xx5时,f(x)0,f(x)单调递减;当x5xx2时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)在(x1,x2)上有一个极小值点;当xx2=3+3时,3x2-x3=x2(3-x)0,所以f(x)=1-(3x2-x3)e-x+10,则f(x)单调递增,所以f(x)在(x2,+∞)上无极值点.

综上可知,f(x)在(-∞,0)和(x1,x2)上各有一个极小值点,在(0,x1)上有一个极大值点,共有3个极值点.;[对点训练4](2024·广东深圳模拟)已知函数f(x)=xex+ax2(a∈R).

(1)当a=时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若函数g(x)=xlnx+xex-f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.;本课结束