第07讲 基本不等式 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）公开课.docxVIP

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第07讲基本不等式

1.了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；

2.理解基本不等式的证明过程；

3.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最值，证明简单的不等式；

4.会应用基本不等式模型解决一些简单实际问题.

1基本不等式

若a0,b0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立

①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b

②运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是a0,b0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2基本不等式及其变形

2

(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)

以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.

①a+b≥2ab，

②ab≤a+b

③a2+b2≥a+b2

④ab≤a2+b22

【题型一】对基本不等式的证明

【典题1】代数法证明：若a0,b0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立).

变式练习

1.几何法证明：若a0,b0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立

【题型二】对基本不等式的理解

相关知识点讲解

若a0,b0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立

①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b

②运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是a0,b0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

【典题1】(多选)下列各式能用基本不等式直接求得最大(小)值的是(???)

A．x+12x B．x2+1+1x

【典题2】下列不等式中等号可以取到的是(????)

A．x2+5+

C．x2+1

变式练习

1.下列条件中能使ba+

①ab0；???②ab0????③a0，b0????④a0，b0

2.不等式a2+4a

A．a=4 B．a=2 C．a=-2 D

3.下列说法正确的是(????)

A．x+1x最小值为2 B．x+

C．x2+1+1x2+1

4.(多选)下列各式中，最小值为2的是(????)

A．x+1x B

C．x+4x

【题型三】基本不等式应用的常见方法

方法1直接法

【典题1】当x0时，函数y=x+4x(

A．有最大值-4 B．有最小值-4 C．有最大值4 D．有最小值4

【典题2】(2024·浙江嘉兴·二模)若正数x,y满足x2-2xy+2=0，则x+y的最小值是(

A．6 B．62 C．22 D

变式练习

1.(2024·重庆·模拟预测)若实数a，b满足ab=2，则a2+2b2

A．2 B．22 C．4 D．

2.(2024·甘肃定西·一模)x2+7x

A．27 B．37 C．47

3.已知x0，则x2-x+4x的最小值为

A．5 B．3 C．-5 D．-5或3

4.若正数a，b满足ab=2，则a+1b+2的最小值为(????

A．2 B．4 C．8 D．16

5.(2024·全国·模拟预测)若x0,y0,3x+2y=1，则8x+4y

A．2 B．22 C．32 D

方法2凑项法

【典题1】已知实数x，y满足x3，且xy+2x-3y=12，则x+y的最小值为(?????)

A．1+26 B．8 C．62 D

变式练习

1.已知x-1，则x+2x+1的最小值为(

A．22 B．2 C．22-1

2.函数y=x2+1

A．2 B．5 C．6 D．7

3.已知0x2，则3x2-x的最大值是(

A．-3 B．3 C．1 D．6

4.已知x0,y0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为()

A．8 B．4 C．82 D．

5.已知x1，则2x+2x-1的最小值是

方法3巧“1”法

【典题1】若x0，y0且x+2y=1，则1x+xy

A．1+22 B．32+2 C．

【典题2】若0x12，则1x+

A．3+22 B．6 C．42 D

变式练习

1.已知x,y0且x+4y=1，则1x+1y

A．42 B．8 C．9 D．

2.(2024·黑龙江哈尔滨·二模)已知正实数x，y满足1x+2y=1，则

A．8 B．9 C．10 D．11

3.已知a0，b0，2a+b-3=0，则12a+1+1b

A．2 B．1 C．32 D．

【题型四】利用基本不等式处理恒成立问题

【典题1】若正实数x、y满足(x-1)(y-4)=4，且x+y4≥a2-3a

A．a|-1a4 B．a|-1≤a≤4

C．a|-4≤a≤1 D．a|-4a1

【典题2】设x0，y0，不等式1x+1y+m

A．-2 B．2 C．