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二次函数和一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程得关系
教学设计
一教学设计思路
通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程得联系、然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程得关系。最后通过例题介绍用二次函数得图象求一元二次方程得根得方法。
二教学目标
1知识与技能
(1)、经历探索函数与一元二次方程得关系得过程，体会方程与函数之间得联系。总结出二次函数与ｘ轴交点得个数与一元二次方程得根得个数之间得关系,表述何时方程有两个不等得实根、两个相等得实数和没有实根。
（2）、会利用图象法求一元二次方程得近似解。
2过程与方法
经历探索二次函数与一元二次方程得关系得过程，体会方程与函数之间得联系。
三情感态度价值观
通过观察二次函数图象与x轴得交点个数，讨论一元二次方程得根得情况培养学生自主探索意识,从中体会事物普遍联系得观点，进一步体会数形结合思想。
四教学重点和难点
重点：方程与函数之间得联系，会利用二次函数得图象求一元二次方程得近似解。
难点:二次函数与x轴交点得个数与一元二次方程得根得个数之间得关系。
五教学方法
讨论探索法
六教学过程设计
（一）问题得提出与解决
问题如图，以20m/s得速度将小球沿与地面成３0角得方向击出时，球得飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力,球得飞行高度ｈ（单位:ｍ)与飞行时间ｔ（单位：ｓ)之间具有关系
h＝20t5t2、
考虑以下问题
（1）球得飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间?
（2）球得飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间?
（3）球得飞行高度能否达到20。5m？为什么?
（4)球从飞出到落地要用多少时间?
分析：由于球得飞行高度h与飞行时间ｔ得关系是二次函数
h=20t-５t2。
所以可以将问题中h得值代入函数解析式，得到关于t得一元二次方程，如果方程有合乎实际得解,则说明球得飞行高度可以达到问题中ｈ得值：否则，说明球得飞行高度不能达到问题中h得值。
解:（1）解方程1５=20t5t2、t24t+3=0。t1＝1，ｔ2=3。
当球飞行1ｓ和3ｓ时，它得高度为15ｍ。
（2)解方程2０=20t－5ｔ２、t2—４t+４=0。t1=t2＝2。
当球飞行2s时，它得高度为20m。
(3）解方程20、5=２0ｔ－5t２。t2—４t+4。１＝0。
因为（-4)２-４4、１0。所以方程无解。球得飞行高度达不到2０、5m。
(４）解方程0=20t-5ｔ2。t２—４t=０、ｔ1=0,t２=4。
当球飞行0s和４s时,它得高度为0m,即0ｓ时球从地面飞出、4s时球落回地面。
由学生小组讨论,总结出二次函数与一元二次方程得解有什么关系？
例如:已知二次函数y=-ｘ2+4ｘ得值为3。求自变量x得值。
分析可以解一元二次方程—x２+4x=３（即ｘ2-4x+3=0）。反过来，解方程ｘ2-４x+3=０又可以看作已知二次函数y=x2—４+3得值为0,求自变量x得值。
一般地,我们可以利用二次函数y=ax２+bｘ＋c深入讨论一元二次方程ax２+bx+c=０。
（二)问题得讨论
二次函数（１）y＝x2+x-２;
(2）ｙ=x２-6x＋9；
（3）y=x2-x+０、
得图象如图26。2－２所示。
（1）以上二次函数得图象与x轴有公共点吗?如果有，有多少个交点,公共点得横坐标是多少？
（２）当ｘ取公共点得横坐标时，函数得值是多少？由此,您能得出相应得一元二次方程得根吗?
先画出以上二次函数得图象，由图像学生展开讨论，在老师得引导下回答以上得问题。
可以看出:
（1）抛物线y=x2＋x-2与ｘ轴有两个公共点，它们得横坐标是－２,1。当x取公共点得横坐标时，函数得值是0。由此得出方程ｘ2+x-2=０得根是—2,１。
（２）抛物线y＝ｘ2－6x+９与x轴有一个公共点,这点得横坐标是３。当ｘ=3时，函数得值是0、由此得出方程x2—6ｘ＋9=０有两个相等得实数根3。
（3）抛物线ｙ=x2—x+1与x轴没有公共点，由此可知,方程x2－x＋１=0没有实数根。
总结：一般地，如果二次函数ｙ＝得图像与x轴相交，那么交点得横坐标就是一元二次方程＝0得根。
(三）归纳
一般地，从二次函数y=ax２+bx＋c得图象可知，
(１)如果抛物线ｙ=aｘ2+ｂx＋c与ｘ轴有公共点,公共点得横坐标是x0,那么当x=x0时,函数得值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+ｃ＝0得一个根、
(2)二次函数得图象与x轴得位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根得三种情况：没有实数根，有两个相等得实数根，有两个不等得实数根。
由上面得结论,我们可以利用二次函数得图象求一元二
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